UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Estudo Cálculo 3 - UFSCAR - Lista de Integrais de Superfície, Questão 3a
3. Calcule , sendo:
a. , , ,
Passo 1
Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍
Nesse problema, temos que calcular a integral onde é dada por e é dada pela superfície parametrizada por , , .
E aí, como podemos fazer isso? 🤔
Não podemos dizer simplesmente que , substituir na integral e seguir a vida normalmente...
Estamos fazendo uma mudança de variáveis, então ao fazer essa mudança em uma integral, temos que calcular um fator de correção que chamamos de jacobiano.
Assim, podemos dizer que multiplicado por um jacobiano .
Bora ver como obtermos esse fator? 😊
Passo 2
A matriz jacobiana é dada no nosso caso, como estamos fazendo uma transformação de
Comparando com , vemos que , e .
Calculando esse jacobiano, temos
Podemos dizer que , ou seja
Substituindo em e derivando os outros termos
Tranquilo até aqui? 🤔
Passo 3
Agora sim, substituindo na integral e multiplicando pelo jacobiano , temos que
Foi dito que está definida na região de , .
Assim, os limites de integração vão ser
Integrando com relação a
Agora com relação a
E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí
