3) Calcule o valor da integral

∫ ∫ D e - x 2 + y 2 d A ,

Onde D é a região delimitada pelas curvas x = 4 - y 2 e x = 0 .

Passo 1

Falaaa... tudo belezinha??

Nessa questão vamos calcular essa integral feiosa, mas vamos se formos resolver do jeito convencional vai ser beeem difícil ou, até, impossível.

O que vai nos ajudar nessa questão é a mudança de variáveis. Como temos x 2 + y 2 e talss já é uma dica de que vamos usar coordenadas polares.

∫ ∫ f x , y d A = ∫ ∫ J r , θ f r , θ d r d θ

Onde J r , θ é o jacobiano. Uma parcela que sempre precisamos multiplicar quando fazemos mudança de variável.

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

Passo 2

Vamos primeiro fazer um esboço dessa região D pra definir os limites de integração:

Temos que y varia de -2 a 2 e que x varia de 0 a 4 - y 2 .

Então a integral fica:

∫ - 2 2 ∫ 0 2 - y 2 e - x 2 + y 2   d x d y

Passo 3

Agora vamos fazer essa bendita mudança de variável.

Para coordenadas polares, temos:

x = r cos ⁡ θ

y = r sen ⁡ θ

E precisamos calcular o jacobiano:

J r , θ = ∂ x ∂ r ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ θ

= cos ⁡ θ - r sen ⁡ θ   sen ⁡ θ r cos ⁡ θ

= r cos 2 ⁡ θ + r sen 2 ⁡ θ

= r cos 2 ⁡ θ + sen 2 ⁡ θ

= r

E já vamos dar uma olhada lá na figura da região D pra achar os novos limites de integração.

Repara que r varia de zero a 2 e que θ varia de - π 2 a π 2 .

Com a mudança de variável, ficamos com:

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 r   e - r cos ⁡ θ 2 + ( r sen ⁡ θ ) 2 d r d θ = ∫ - π 2 π 2 ∫ 0 2 r   e - r 2 d r d θ

Passo 4

Resolvendo a integral de dentro por substituição simples:

Chamamos:

- r 2 = u

- 2 r   d r = d u → r   d r =   - d u 2

Para os limites de integração:

r = 0 → u = 0

r = 2 → u = - 4

∫ - π 2 π 2 ∫ 0 - 4 e u - d u 2 d θ = ∫ - π 2 π 2 - e u 2 0 - 4 d θ

= ∫ - π 2 π 2 - e - 4 2 + 1 2 d θ

= - e - 4 2 + 1 2 θ - π 2 π 2

= π 2 1 - e - 4

Ohh... acabamos mais uma. Partiu pra próxima?

Resposta

π 2 1 - e - 4

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