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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 1d

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

d) ∫ - a a ∫ 0 a 2 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ - a a ∫ 0 a 2 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x em que a região limitada por 0 ≤ y ≤ a 2 - x 2 e - a ≤ x ≤ a . Pra isso temos que usar coordenadas polares!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Fazemos esse tipo de conversão quando temos alguma simetria polar na região de integração ou na função de integração da integral.

Para fazer a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Para completar a conversão, multiplicamos a função de integração por r e definimos os limites de integração em função de r e θ .

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar convertendo nossa função de integração...

f x , y = e - x 2 + y 2

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

f r , θ = e - r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2

f r , θ = e - r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

f r , θ = e - r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 ...

f r , θ = e - r 2

f r , θ = e - r 2

Agora temos que definir os limites de integração para as variáveis polares r e θ ...

No caso, y varia de 0 a a 2 - x 2 , ou seja, estamos interessados na parte superior da circunferência de raio a .

Isso implica que θ varia de 0 a π .

Já como x varia de - a a a , podemos perceber que r varia de 0 a a .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Montando nossa integral em coordenadas polares, temos que

∫ - a a ∫ 0 a 2 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x → ∫ 0 π ∫ 0 a e - r 2 · r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 a r e - r 2 d r d θ

Integrando com relação a r pelo método de substituição...

∫ r e - r 2 d r = - 1 2 e - r 2

Aplicando os limites de integração

∫ 0 a r e - r 2 d r = - 1 2 e - a 2 - - 1 2 e - 0 2

∫ 0 a r e - r 2 d r = 1 2 1 - e - a 2

Integrando o resultado em função de θ

∫ 1 2 1 - e - a 2 d θ = 1 2 1 - e - a 2 θ

E por fim aplicando os limites de integração

∫ 0 π 1 2 1 - e - a 2 d θ = 1 2 1 - e - a 2 π - 1 2 1 - e - a 2 0

∫ 0 π 1 2 1 - e - a 2 d θ = 1 - e - a 2 π 2

Com isso temos que

∫ - a a ∫ 0 a 2 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x = 1 - e - a 2 π 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ - a a ∫ 0 a 2 - x 2 e - x 2 + y 2 d y d x = 1 - e - a 2 π 2

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