Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Ver Teoria
Exercício 106123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 1f

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

f) ∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y em que a região limitada por 0 ≤ y ≤ 2 e - 2 y - y 2 ≤ x ≤ 2 y - y 2 . Pra isso temos que usar coordenadas polares!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Fazemos esse tipo de conversão quando temos alguma simetria polar na região de integração ou na função de integração da integral.

Para fazer a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Para completar a conversão, multiplicamos a função de integração por r e definimos os limites de integração em função de r e θ .

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar convertendo nossa função de integração...

f x , y = 1 x 2 + y 2

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

f r , θ = 1 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 = 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

f r , θ = 1 r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

f r , θ = 1 r 2

f r , θ = 1 r

Agora temos que definir nossa região de integração. Pra isso vamos usar a informação de que - 2 y - y 2 ≤ x ≤ 2 y - y 2 .

x 2 = 2 y - y 2

x 2 + y 2 - 2 y = 0

x 2 + y - 1 2 - 1 = 0

x 2 + y - 1 2 = 1

Esboçando essa circunferência...

Para determinar os limites de integração vamos aplicar as coordenadas polares na equação da circunferência. x 2 + y - 1 2 = 1 → r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ - 1 2 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ + 1 = 1

r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ - 2 r sin ⁡ θ = 0

Simplificando a equação e isolando r ...

r 2 - 2 r sin ⁡ θ = 0

r 2 = 2 r sin ⁡ θ

r = 2 sin ⁡ θ

Dessa forma r varia entre 0 e 2 sin ⁡ θ e θ de 0 a π .

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

A partir das informações que obtemos até agora podemos escrever a integral como

∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y → ∫ 0 π ∫ 0 2 sin ⁡ θ 1 r · r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 2 sin ⁡ θ 1 d r d θ

Integrando com relação a r

∫ 1 d r = r

Aplicando os limites de integração

∫ 0 2 sin ⁡ θ 1 d r = 2 sin ⁡ θ

Integrando o resultado em função de θ

∫ 2 sin ⁡ θ d θ = - 2 cos ⁡ θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ = - 2 cos ⁡ π - - 2 cos ⁡ 0

∫ 0 π 2 sin ⁡ θ d θ = 2 + 2 = 4

Portanto temos que

∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y = 4

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 0 2 ∫ - 2 y - y 2 2 y - y 2 1 x 2 + y 2 d x d y = 4

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}