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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 1g

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

g) ∫ 0 1 2 ∫ 3 y 1 - y 2 x y 2 d x d y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ 0 1 2 ∫ 3 y 1 - y 2 x y 2 d x d y em que a região limitada por 0 ≤ y ≤ 1 2 e 3 y ≤ x ≤ 1 - y 2 . Pra isso temos que usar coordenadas polares!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Fazemos esse tipo de conversão quando temos alguma simetria polar na região de integração ou na função de integração da integral.

Para fazer a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Para completar a conversão, multiplicamos a função de integração por r e definimos os limites de integração em função de r e θ .

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar convertendo nossa função de integração...

f x , y = x y 2

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

f r , θ = r cos ⁡ θ r sin ⁡ θ 2

f r , θ = r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Para definir os limites de integração temos que analisar os intervalos de x e y .

Como 3 y ≤ x ≤ 1 - y 2 , vemos que a região de integração é dada por

A partir da área hachurada vemos que r varia de 0 a 1 e θ varia entre 0 e tan - 1 ⁡ 1 3

0 ≤ θ ≤ π 6

Tranquilo até aqui? 😐

Passo 3

Montando a integral com coordenadas polares, temos

∫ 0 1 2 ∫ 3 y 1 - y 2 x y 2 d x d y → ∫ 0 π 6 ∫ 0 1 r 3 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ · r d r d θ

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d r d θ

Integrando em relação a r

∫ r 4 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d r = r 5 5 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 1 r 4 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d r = 1 5 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ

Integrando o resultado em relação a θ pelo método de substituição.

∫ 1 5 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = sin 3 ⁡ θ 15

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 π 6 1 5 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = 1 8 15

∫ 0 π 6 1 5 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = 1 120

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ 0 π 6 1 5 cos ⁡ θ sin 2 ⁡ θ d θ = 1 120

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