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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 1h

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

h) ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 e - x 2 - y 2 d y d x

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 e - x 2 - y 2 d y d x em que a região limitada por 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 . Pra isso temos que usar coordenadas polares!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Fazemos esse tipo de conversão quando temos alguma simetria polar na região de integração ou na função de integração da integral.

Para fazer a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Para completar a conversão, multiplicamos a função de integração por r e definimos os limites de integração em função de r e θ .

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar convertendo nossa função de integração...

f x , y = e - x 2 - y 2

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

f r , θ = e - r cos ⁡ θ 2 - r sin ⁡ θ 2

f r , θ = e - r 2 cos 2 ⁡ θ - r 2 sin 2 ��� θ

f r , θ = e - r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Como cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1

f r , θ = e - r 2

Para determinar a região de integração vamos olhar para os intervalos de x e y , onde temos que 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 4 - x 2 .

A partir da variação de y vemos que estamos interessados na parte superior da circunferência x 2 + y 2 = 4 . Logo podemos definir 0 ≤ θ ≤ π e 0 ≤ r ≤ 2 .

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

A partir dessas informações podemos definir nossa integral em coordenadas polares...

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 e - x 2 - y 2 d y d x → ∫ 0 π ∫ 0 2 e - r 2 · r d r d θ

∫ 0 π ∫ 0 2 r e - r 2 d r d θ

Integrando em relação a r ...

∫ r e - r 2 d r = - 1 2 e - r 2

Aplicando os limites de integração no resultado da integral

∫ 0 2 r e - r 2 d r = - 1 2 e - 2 2 - - 1 2 e - 0 2

∫ 0 2 r e - r 2 d r = 1 2 - 1 2 e - 4

∫ 0 2 r e - r 2 d r = 1 2 1 - e - 4

Integrando o resultado com relação a θ

∫ 1 2 1 - e - 4 d θ = 1 2 1 - e - 4 θ

Aplicando os limites de integração

∫ 0 π 1 2 1 - e - 4 d θ = 1 2 1 - e - 4 π - 1 2 1 - e - 4 0

∫ 0 π 1 2 1 - e - 4 d θ = 1 - e - 4 π 2

Com isso, temos que

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 e - x 2 - y 2 d y d x = 1 - e - 4 π 2

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 e - x 2 - y 2 d y d x = 1 - e - 4 π 2

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