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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 1b

Exercício 1. Por meio de coordenadas polares, calcule a integral

(b) ∫ ∫ x 2 x 2 + y 2 d A , em que R é a região anular limitada por x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 , 0 < a < b .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos calcular a integral ∫ ∫ R x 2 x 2 + y 2 d A em que R é a região limitada entre as curvas x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 sendo que 0 < a < b . Pra isso temos que usar coordenadas polares!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Fazemos esse tipo de conversão quando temos alguma simetria polar na região de integração da integral, como nesse caso em que a região R é limitada entre duas circunferências x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 .

Para fazer a conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares temos que fazer x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

Para completar a conversão, multiplicamos a função de integração por r e definimos os limites de integração em função de r e θ .

Bacana, não é? Bora começar! 😉

Passo 2

Vamos começar convertendo nossa função de integração...

f x , y = x 2 x 2 + y 2

Fazendo x = r cos ⁡ θ e y = r sin ⁡ θ .

f r , θ = r cos ⁡ θ 2 r cos ⁡ θ 2 + r sin ⁡ θ 2 = r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ

f r , θ = r 2 cos 2 ⁡ θ r 2 cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ

Sabemos que cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ = 1 , portanto

f r , θ = r 2 cos 2 ⁡ θ r 2

f r , θ = cos 2 ⁡ θ

Agora temos que definir os limites de integração de r e θ ...

Pra isso vamos esboçar as circunferências x 2 + y 2 = a 2 e x 2 + y 2 = b 2 sabendo que 0 < a < b .

Dessa forma podemos observar que o raio da região de integração varia entre a e b e o ângulo θ de 0 a 2 π já que a região envolve todos os ângulos da origem com relação ao semieixo positivo de x .

Tranquilo até aqui? 😬

Passo 3

A partir das informações que obtemos anteriormente podemos montar a integral em coordenadas polares como

∫ ∫ R x 2 x 2 + y 2 d A → ∫ 0 2 π ∫ a b cos 2 ⁡ θ · r d r d θ

∫ 0 2 π ∫ a b r cos 2 ⁡ θ d r d θ

Integrando com relação a r

∫ r cos 2 ⁡ θ d r = r 2 2 cos 2 ⁡ θ

Aplicando os limites de integração

∫ a b r cos 2 ⁡ θ d r = b 2 2 cos 2 ⁡ θ - a 2 2 cos 2 ⁡ θ

∫ a b r cos 2 ⁡ θ d r = cos 2 ⁡ θ b 2 2 - a 2 2

Integrando o resultado em relação a θ .

∫ cos 2 ⁡ θ b 2 2 - a 2 2 d θ = 1 2 θ + sin ⁡ 2 θ 2 b 2 2 - a 2 2

∫ cos 2 ⁡ θ b 2 2 - a 2 2 d θ = 1 4 θ + sin ⁡ 2 θ 2 b 2 - a 2

Aplicando os limites de integração...

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ b 2 2 - a 2 2 d θ = 1 4 2 π + sin ⁡ 2 2 π 2 b 2 - a 2 - 1 4 0 + sin ⁡ 2 0 2 b 2 - a 2

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ b 2 2 - a 2 2 d θ = 1 4 2 π b 2 - a 2

∫ 0 2 π cos 2 ⁡ θ b 2 2 - a 2 2 d θ = b 2 - a 2 π 2

Com isso, encontramos que

∫ ∫ R x 2 x 2 + y 2 d A = b 2 - a 2 π 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∫ ∫ R x 2 x 2 + y 2 d A = b 2 - a 2 π 2

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