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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2e

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : a b a i x o   d o   p l a n o   2 x + y + z = 4   e   a c i m a   d o   d i s c o   x 2 + y 2 ≤ 1

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

P l a n o : 2 x + y + z = 4

D i s c o :   x 2 + y 2 ≤ 1

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . Para isso, temos que usar a equação do plano:

2 x + y + z = 4

z = 4 - 2 x - y

Logo:

V = ∬ R ( 4 - 2 x - y ) d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

4 - 2 x - y = 4 - 2 r c o s θ - r s e n ( θ )

Com isso:

V = ∬ R ( 4 - 2 x - y ) d x d y = ∬ R 4 - 2 r c o s θ - r s e n θ r d r d θ

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

Como nós queremos a região acima do disco, vamos usar o raio dele como referência, então:

x 2 + y 2 ≤ 1

Então:

0 ≤ r ≤ 1

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que vai completar uma circunferência completa, então

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo

V = ∬ R 4 - 2 r c o s θ - r s e n θ r d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 - 2 r c o s θ - r s e n θ r d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r - 2 r 2 c o s θ - r 2 s e n θ d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 1 4 r - 2 r 2 c o s θ - r 2 s e n θ d r d θ = 2 r 2 - 2 r 3 c o s θ 3 - r 3 s e n θ 3 0 1

∫ 0 1 4 r - 2 r 2 c o s θ - r 2 s e n θ d r d θ = 2 - 2 cos ⁡ θ 3 - s e n θ 3

Ficando agora

V = ∫ 0 2 π ∫ 0 1 4 r - 2 r 2 c o s θ - r 2 s e n θ d r d θ = ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ θ 3 - s e n θ 3 d θ

Vamos integrar a última:

V = ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ θ 3 - s e n θ 3 d θ = 2 θ - 2 s e n θ 3 + cos ⁡ θ 3 0 2 π

V = ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ θ 3 - s e n θ 3 d θ = 4 π - 0 + 1 3 - 0 - 0 + 1 3

V = ∫ 0 2 π 2 - 2 cos ⁡ θ 3 - s e n θ 3 d θ = 4 π

Resposta

4 π

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