Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

Ver Teoria
Exercício 133123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2f

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : é   d e l i m i t a d o   p o r   u m a   e s f e r a   d e   r a i o   a

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

E s f e r a : x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . Para isso, temos que usar a equação do plano:

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

z = ± a 2 - x 2 - y 2

Logo:

V = 2 ∬ R a 2 - x 2 - y 2 d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

a 2 - x 2 - y 2 = a 2 - r 2 c o s 2 θ - r 2 s e n 2 ( θ )

a 2 - x 2 - y 2 = a 2 - r 2

Com isso:

V = 2 ∬ R a 2 - x 2 - y 2 d x d y = 2 ∬ R a 2 - r ² d x d y

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

No caso, como queremos o raio variando da origem até a , teremos

0 ≤ r ≤ a

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que vai completar uma circunferência completa, então

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo

V = 2 ∬ R a 2 - r ² d x d y = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 a a 2 - r ² r d r = - 1 3 a 2 - r 2 3 2 0 a

∫ 0 a a 2 - r ² r d r = 1 3 a 2 3 2 = 1 3 a 3

Ficando agora

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ = 2 ∫ 0 2 π 1 3 a 3 d θ = 2 a 3 3 ∫ 0 2 π d θ

Vamos integrar a última:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ = 2 a 3 3 ∫ 0 2 π d θ

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ = 2 a 3 3 θ 0 2 π = 4 π a 3 3

Resposta

4 π a 3 3

Exercícios de Livros Relacionados

Determine todos os valores de p para os quais I p , a tem um limite finito quando a tende para + ∞ .
Se a0 , seja I (a) = int_(- a)^a e^(- u^2) d u .Mostre queI^2 (a) = int int_D e^(- (x^2 + y^2)) d x d y Onde:D = [- a , a] xx [- a , a]
Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
Determine o volume dos sólidos W abaixo. W é limitado pelas superfícies z = x 2 + y 2 , x 2 + y 2 = 4 , x 2 + y 2 = 9 e o plano z = 10 .
Calcule int int_D (e^(((x + y)/(x - y))))/((x - y)^2) d x d y , ondeD = {(x , y) in R^2,1 = (x - y)^2 = 4 , y = 0 e x + y = 0}