Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q: é delimitado por uma esfera de raio a

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

E s f e r a : x 2 + y 2 + z 2 = a 2

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y :

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . Para isso, temos que usar a equação do plano:

x 2 + y 2 + z 2 = a 2

z = ± a 2 - x 2 - y 2

Logo:

V = 2 ∬ R a 2 - x 2 - y 2 d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

a 2 - x 2 - y 2 = a 2 - r 2 c o s 2 θ - r 2 s e n 2 ( θ )

a 2 - x 2 - y 2 = a 2 - r 2

Com isso:

V = 2 ∬ R a 2 - x 2 - y 2 d x d y = 2 ∬ R a 2 - r ² d x d y

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

No caso, como queremos o raio variando da origem até a , teremos

0 ≤ r ≤ a

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que vai completar uma circunferência completa, então

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo

V = 2 ∬ R a 2 - r ² d x d y = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 a a 2 - r ² r d r = - 1 3 a 2 - r 2 3 2 0 a

∫ 0 a a 2 - r ² r d r = 1 3 a 2 3 2 = 1 3 a 3

Ficando agora

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ = 2 ∫ 0 2 π 1 3 a 3 d θ = 2 a 3 3 ∫ 0 2 π d θ

Vamos integrar a última:

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ = 2 a 3 3 ∫ 0 2 π d θ

V = 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 a a 2 - r ² r d r d θ = 2 a 3 3 θ 0 2 π = 4 π a 3 3

Resposta

4 π a 3 3

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