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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

UFSCAR, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de C3 - Profª Alessandra Verri - Lista 3, Questão 2h

Por meio de coordenadas polares, encontre o volume do sólido Q

Q : i n t e r i o r   t a n t o   d o   c i l i n d r o   x 2 + y 2 = 4   q u a n t o   d o   e l i p s ó i d e   4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos começar fazendo um esboço da nossa região delimitada.

C i l i n d r o :   x 2 + y 2 = 4

E l i p s ó i d e : 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

Mas para termos uma ideia da variação de x e y , vamos ter que analisar como fica no plano x y

Como queremos trabalhar com coordenadas polares, vamos dizer:

x = r c o s θ

y = r s e n ( θ )

J = r

Show, com essas informações, a gente vai conseguir calcular.

Passo 2

Para começar, vamos começar trazendo a equação da integral:

V = ∬ R f x , y d A

Temos que achar a nossa f x , y . Para isso, temos que usar a equação do elipsóide:

4 x 2 + 4 y 2 + z 2 = 64

z = ± 64 - 4 x 2 - 4 y 2

Como o volume que a gente quer é a intercepção entre ambas (dentro da esfera e acima do cone). Vamos fazer a superfície de teto menos a de baixo:

f x , y = ± 64 - 4 x 2 - 4 y 2

Logo:

V = 2 ∬ R 64 - 4 x 2 - 4 y 2 d x d y

Porém já temos em mente que precisamos fazer a mudança para coordenadas polares:

f x , y = 64 - 4 x 2 - 4 y 2

f r , θ = 64 - 4 ( r 2 c o s 2 θ + r 2 s e n 2 ( θ )

f r , θ = 2 16 - r 2

Com isso:

V = 2 ∬ R 64 - 4 x 2 - 4 y 2 d x d y = 2 ∬ R 2 16 - r 2 r d r d θ

Agora precisamos determinar os intervalos de integração.

Passo 3

Vamos começar pelo r :

No caso, como queremos o volume no interior do cilindro, vamos usar o raio dele:

0 ≤ r ≤ 2

Agora vamos encontrar θ . No caso, reparem que vai completar uma circunferência completa, então

0 ≤ θ ≤ 2 π

Logo

V = 2 ∬ R 2 16 - r 2 r d r d θ = 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 - r 2 r d r d θ

Agora podemos calcular.

Passo 4

Agora vamos resolver a nossa integral:

V = 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 - r 2 r d r d θ

Começando pela mais interna:

∫ 0 2 16 - r 2 r d r = - 1 3 1 6 - r 2 3 2 0 2

∫ 0 2 16 - r 2 r d r = - 1 3 1 2 3 2 - 16 3 2

∫ 0 2 16 - r 2 r d r = 8 3 8 - 3 3

Ficando agora

V = 4 ∫ 0 2 π ∫ 0 2 16 - r 2 r d r d θ = 4 ∫ 0 2 π 8 3 8 - 3 3 d θ = 32 3 ∫ 0 2 π 8 - 3 3 d θ

Vamos integrar a última:

V = 32 3 ∫ 0 2 π 8 - 3 3 d θ = 32 3 8 θ - 3 3 θ 0 2 π

V = 32 3 ∫ 0 2 π 8 - 3 3 d θ = 64 π 3 8 - 3 3

Resposta

64 π 3 8 - 3 3

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Se a0 , seja I a = ∫ - a a e - u 2 d u .Se B 1 e B 2 são bolas inscrita e circunscrita a D , respectivamente mostre que ∫ ∫ B 1 e - x 2 + y 2 d x d y ≤ I 2 a ≤ ∫ ∫ B 2 e - x 2 + y 2 d x d y
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