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Exercícios Resolvidos de Mudança para Coordenadas Polares

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Enunciado

  1. Passe para coordenadas polares e calcule:

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 arctan ⁡ y x   d y d x

Passo 1

Bem, a primeira coisa aqui é tentar entender um pouco melhor sobre a própria região que estamos querendo trabalhar.

A única informação que temos sobre a região é dada pela própria integral afinal de contas sabemos que:

0 ≤ x ≤ 3

0 ≤ y ≤ 9 - x 2

Pow! Com essa primeira inequação, ganhamos:

x = 0

x = 3

Colocando as duas primeiras equações em um plano obtemos essas duas retas paralelas a o Y :

Passo 2

Com a outra informação tirada da integral...

0 ≤ y ≤ 9 - x 2

tiramos que... y = 0

y = 9 - x 2

A primeira equação é easy de desenhar, pois ela é o próprio eixo x :

Quanto à segunda, observe que é difícil de enxergar que curva é essa dessa forma. Por isso a ideia é justamente tirar essa raiz feia aí, observe:

y = 9 - x 2                 →               y 2 = 9 - x 2

y 2 + x 2 = 9

RA!!! É uma circunferência de raio 3 !

Porém, cuidado! Só queremos o lado positivo de y , então...

Passo 3

Dessa forma já é possível notar qual região estamos trabalhando juntando todas essas curvas dos passos anteriores:

Passo 4

Como o próprio problema nos pediu, devemos mudar então para as famosas coordenadas polares, onde vamos fazer a seguinte troca:

x = r cos ⁡ θ

y = r sin ⁡ θ

Não se esqueça do Jacobiano:

J = r

Pois bem! Toda e qualquer mudança que fazemos temos que determinar quais são os limites dos novos camaradas (no caso é o r e θ ). Bora?

Passo 5

Encontrar a variação desse caras é muito fácil pra gente, pois o θ está indo até 90 ° partindo da origem:

0 ≤ θ ≤ π 2

Enquanto que o r sai da origem e vai até a borda que tem raio 3 ...

0 ≤ r ≤ 3

Passo 6

Antes de substituirmos tudo na integral,

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 arctan ⁡ y x   d y d x

repare que é fundamental a gente trocar esse arco tangente aí pelas coordenas polares. Mas cara! Com a substituição polar que fizemos, o ângulo θ é esse daqui, ohh:

Logo, tangente desse ângulo sempre será y x , certo?

tan ⁡ θ = y x

Portanto podemos falar que o arco cuja tangente é y x , é o ângulo θ , sacou? Veja:

θ = arctan ⁡ y x

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 arctan ⁡ y x   d y d x

Sabendo disso, podemos então agora montar a integral simplesmente substituindo tudo (não esqueça de multiplicar pelo Jacobiano quando realizar a troca)

∫ 0 3 ∫ 0 9 - x 2 arctan ⁡ y x   d y d x = ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 θ ∙ J   d r d θ =

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 θ ∙ r   d r d θ

Agora é só integrar! Bora?

Passo 7

Resolvendo então a integral de dentro...

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 θ ∙ r   d r d θ = ∫ 0 π 2 ∫ 0 3 θ ∙ r   d r d θ

Como θ independe da variável que este se integrando dentro, ele pode vazar dessa primeira integral:

∫ 0 π 2 ∫ 0 3 θ ∙ r   d r d θ = ∫ 0 π 2 θ ∫ 0 3 r   d r d θ =

∫ 0 π 2 θ r 2 2 0 3 d θ

substituindo

∫ 0 π 2 θ 3 2 2 d θ = 9 2 ∫ 0 π 2 θ d θ =

Integrando novamente...

9 2 θ 2 2 0 π 2 =

9 π 2 16

Resposta

d )       9 π 2 16

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