USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.37
Um arame de comprimento deve ser cortado em pedaços, um para formar um quadrado e outro um triângulo equilátero. Como se deve cortar o arame para que a soma das áreas cercadas pelos pedaços seja:
máxima?
mínima?
Mostre que no caso o lado do quadrado é da altura do triângulo.
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo bem com vocês?
Nesse exercício temos mais um probleminha de otimização.
Basicamente, temos um comprimento fixo de tamanho e precisamos dividi-lo pra formar um quadrado e um triângulo equilátero.
Essa informação nos diz que a soma dos perímetros do quadrado e do triângulo precisa ser igual a .
O objetivo do enunciado é calcular como se deve cortar o arame para que a soma das áreas do quadrado e do triângulo seja máxima ou mínima.
Bom, vamos dar uma revisada na expressão do perímetro e da área do quadrado:
onde é o lado do quadrado.
Já para o triângulo equilátero, o seu perímetro vale:
onde é o lado do triângulo equilátero. Já para calcular a área do triângulo equilátero, devemos lembrar que como seus ângulos internos valem todos , sua altura é dada por:
Assim, a área do triângulo equilátero vale:
Massa! Sabendo de tudo isso podemos buscar uma relação entre e através do comprimento do arame. Depois, substituímos na expressão da soma das áreas e derivamos e igualamos a zero para encontrar os pontos críticos.
Vamo nessa!
Passo 2
Então gente, como a soma dos perímetros do quadrado e do triângulo precisa ser igual a , temos:
Daí:
Substituindo em , que representa a soma das áreas, temos:
Perfeito! Temos uma relação envolvendo e . Daí, é só derivar e igualar a zero.
Passo 3
Fazendo:
Vem que:
Logo:
Logo:
Esse é um ponto crítico da função, porém não sabemos se é de máximo ou de mínimo.
Para resolver esse problema podemos calcular a segunda derivada e verificar o valor que ela assume no ponto de interesse.
Temos:
Como a segunda derivada é maior que para qualquer , inclusive para o que calculamos, temos que o ponto dado é mínimo.
Passo 4
Nesse caso, temos que:
E, a altura do triângulo equilátero vale:
Substituindo o valor de que encontramos, temos:
Logo:
Mas:
Portanto:
Que também queríamos provar! 😊
Passo 5
Por fim, precisamos encontrar como dividir o corte para ter a área máxima.
Mas, vimos que otimizando através da derivada tivemos apenas um ponto crítico. Isso significa que o nosso máximo global se encontra nas extremidades do intervalo.
Ou seja, ou quando pegamos todo o comprimento e transformamos em um quadrado, ou quando pegamos todo o comprimento e transformamos em um triângulo equilátero.
Vamos testar qual desses dois casos nos dá a maior área.
Se:
Portanto:
Já no caso de todo o arame virar triângulo:
Resultado que é menor do que .
Logo, para obtermos a área máxima, transformamos todo o arame em um quadrado.
Ufaaa! É isso gente!
Terminamos 😊
Resposta
transformamos todo o arame em um quadrado.
o lado do quadrado vale: