UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 7.
Uma caixa em forma de paralelepípedo deve ter comprimento igual ao dobro da largura. Se a soma da altura com a largura deve ser 48 cm, calcule seus valores para que o volume seja máximo.
Passo 1
Oi lindux
Para encontrar as dimensões da caixa que maximizam o volume, você pode usar o cálculo. Primeiro, vamos denotar as dimensões da caixa da seguinte forma:
- Comprimento (onde "x" é a largura)
- Largura
- Altura (já que a soma da altura com a largura deve ser 48 cm)
O volume da caixa é dado por:
Agora, você deseja encontrar o valor de "x" que maximiza o volume V.
Para fazer isso, primeiro expanda a expressão para o volume e em seguida, diferencie em relação a "x" e iguala a zero para encontrar o valor crítico.
Em seguida, verifique se é um máximo ou mínimo usando a segunda derivada.
Passo 2
Agora, vamos diferenciar V em relação a x:
Agora, igualando a derivada a zero para encontrar o valor crítico:
Agrupando termos semelhantes:
Agora, resolvendo esta equação quadrática:
Divida ambos os lados por 6x (lembre-se de que x não pode ser zero, pois, a largura não pode ser zero):
Passo 3
Agora que encontramos o valor de x, podemos encontrar as outras dimensões:
Portanto, as dimensões da caixa que maximizam o volume são: comprimento de 64 cm, largura de 32 cm e altura de 16 cm.
Resposta
Portanto, as dimensões da caixa que maximizam o volume são: comprimento de 64 cm, largura de 32 cm e altura de 16 cm.