USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.32
Um cilindro é obtido girando-se um retângulo ao redor do eixo , onde a base do retângulo está apoiada. Seus vértices superiores estão sobre a curva Qual é o maior volume que tal cilindro pode ter?
Passo 1
Fala aí pessoal, tudo beleza?
Nessa questão temos mais um probleminha de otimização.
Basicamente, um cilindro vai ser formado pela rotação de um retângulo em torno do eixo . O objetivo é que maximizemos esse volume sabendo que os vértices superiores do retângulo estão na curva:
E que a base do retângulo está apoiada no eixo .
Bom, como o volume é obtido pela rotação em torno do eixo , o nosso cilindro vai estar deitado no plano cartesiano. Assim, o seu volume será dado por:
será justamente o raio da tampa do cilindro. Nesse caso, equivale à altura dos vértices superiores do retângulo. Então:
Já é a altura do cilindro, que nesse caso equivale à distância entre os vértices superiores do retângulo.
Como os vértices superiores estão na curva dada, e por se tratar de um retângulo o lado superior do polígono é paralelo à base, que está apoiada no eixo . Temos que os vértices superiores são pontos e .
A primeira dificuldade é encontrar uma relação entre e .
Depois, iremos substituir na fórmula do volume para resolver o problema de optimização em si.
Derivamos, igualamos a zero, e encontramos o valor de que resulta no máximo volume.
Sacaram? Vamo nessa!
Passo 2
Bom, pra começar precisamos obter uma relação entre e dado que:
Essa parte realmente é complicadinha, mas tem uma sacada muito legal que podemos usar.
Vamos olhar quanto vale . Temos:
Uoou, olha que interessante! Temos que:
Mas, o que queremos encontrar é definido justamente por essa relação:
Logo, temos que:
Perfeito!
Assim, a altura do cilindro gerado vale:
Que, a partir de agora chamaremos apenas de . Ou seja:
Perfeito!
Passo 3
Vamos agora substituir no nosso volume para derivar a expressão e igualá-la a zero:
Beleza!
Precisamos derivar essa expressão e igualar a zero.
Daí:
Vamos derivar cada um desses termos separadamente.
Para o primeiro termo, pela regra do quociente:
Vamos agora derivar o segundo termo:
Daí, juntando os dois, temos:
O fator aparece em todos os termos, então podemos simplifica-lo com o denominador:
Logo, o numerador é nulo:
Essa é uma equação biquadrada, vamos chamar:
Logo:
Por bháskara:
Então, voltando para :
Encontramos duas soluções. Isso é porque existem dois valores de que compõem o nosso retângulo: os dois vértices superiores.
Para calcular o volume pedido no enunciado, basta substituirmos o maior desses dois valores na expressão (pois caso contrário teremos um resultado negativo para a altura do cilindro) que encontramos para o volume do cilindro.
Temos:
Nossaaa! Terminamos!!
Essa questão era bem difícil né galera? Mas, que bom que saiu!!
Tamo junto e até a próxima 😊