UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº José de Albuquerque - Lista de Gráficos, L'hopital e problemas de otimização, Questão 12
12. Um contêiner para estocagem retangular com uma tampa aberta deve ter um volume de . O comprimento de sua base é o dobro da largura. O material para a base custa por metro quadrado. O materal para os lados custa por metro quadrado. Encontre o custo dos materiais para o mais barato desses contêineres.
Passo 1
Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍
Nesse problema, queremos obter uma caixa que tenha de volume cuja altura da base seja o dobro da largura, mas que tenha o menor custo possível, sabendo que a lateral custa por metro quadrado e a base custa por metro quadrado.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.
Primeiro, para uma caixa de base de um lado e largura e altura , o volume é calculado como
Essa equação tem que ser satisfeita sempre.
E a equação que descreve o custo da caixa é dada por
Essa equação temos que maximizar.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Isolando uma das variáveis da equação do volume e substituindo na equação do custo, temos
Substituindo em
Derivando para obter uma relação entre a taxa em variação de em função de , temos
Igualando a ...
Isolando em um lado...
Assim, vemos que é a medida que ser menor possível.
Substituindo em ...
Portanto, as medidas da caixa são e
E o custo para essas dimensões, são...
É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌
Resposta
e ,