USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.31
Deseja-se construir uma esfera e um cubo de modo que a soma das áreas de suas superfícies seja igual a . Determine o raio da esfera que maximiza e o que minimiza a soma de seus volumes.
Passo 1
E aí gente, tudo beleza?
Temos mais um probleminha de otimização!
Nessa questão temos uma esfera e um cubo, cujas áreas superficiais valem:
O enunciado nos fala que a soma dessas áreas superficiais vale , ou seja:
E, a partir disso, ele nos pede para determinar o raio da esfera que maximiza e minimiza a soma dos volumes da esfera e do cubo. Ou seja, que maximiza e minimiza , onde:
Para fazer isso vamos seguir a ideia padrão de problemas de otimização. Através da informação da área superficial descobrimos uma relação entre e . Depois, substituímos essa relação em para termos o volume em função de uma única variável. Por fim, derivamos e igualamos a zero para encontrar os pontos de máximo e mínimo 😊
Vamo nessa!
Passo 2
Bom, vamos começar escrevendo uma relação entre e :
Substituindo na expressão do volume, vamos ter:
Beleza!!
Passo 3
Agora que encontramos uma expressão para o volume , podemos derivá-la e igualar a zero.
Teremos:
Resolvendo cada derivada individualmente:
Já no próximo teremos uma regra da cadeia:
Juntando esses dois resultados na nossa equação, vem que:
Como não é uma solução que importa pra gente, podemos passar dividindo:
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos que:
Logo:
Perfeito! Esse é o raio que minimiza a soma dos volumes. Mas, encontramos apenas um ponto crítico derivando e igualando a zero.
Isso significa que o máximo valor máximo dessa expressão encontra-se em um dos dois extremos do intervalo. Isto é, como:
Temos um mínimo e um máximo para o raio . O máximo ocorre quando e o mínimo ocorre quando .
Se:
Se:
Portanto, o valor do raio que maximiza o volume é quando temos:
É isso galera! Finalizamos a questão 😊
Muito obrigado pela atenção de todos!!