UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 10.
Determinar a área da maior pastagem retangular que pode ser cercada fazendo 600 metros de cerca e utilizando 100 metros de cerca (reta) já existente.
Passo 1
Para determinar a área da maior pastagem retangular que pode ser cercada com 600 metros de cerca, sendo que você já possui 100 metros de cerca reta existente, você precisa entender que a cerca já existente formará um dos lados do retângulo.
Vamos chamar os lados do retângulo de "L" (comprimento) e "W" (largura).
A cerca reta de 100 metros já existe e será usada como um dos lados do retângulo. Portanto:
A quantidade restante de cerca que você tem disponível para cercar os outros lados do retângulo é de 600 metros + 100 metros = 700 metros.
A soma dos comprimentos dos dois lados restantes do retângulo (os lados paralelos à cerca existente) é 700 metros (você possui 700 metros de cerca adicional).
A área do retângulo é dada por:
Agora, você deseja maximizar a área do retângulo.
Para fazer isso, você precisa escolher as dimensões (Largura) de forma que a área seja a maior possível com os 500 metros de cerca disponíveis.
Passo 2
No entanto, há uma relação importante a ser observada: quanto maior o comprimento (L) do retângulo, menor será a largura (W) possível, e vice-versa, para manter o perímetro de 500 metros.
Vamos usar a fórmula do perímetro para entender essa relação:
Como o perímetro é igual a 500 metros, podemos escrever:
Agora, isole W na equação:
Agora, você pode substituir esta expressão para W na fórmula da área:
Passo 3
Para maximizar a área, você pode usar cálculo ou o conhecimento de que o valor máximo ocorre no ponto médio do intervalo de possíveis valores de
Portanto, o valor máximo ocorre quando
Agora, encontre a largura correspondente:
A área máxima ocorre quando .
Portanto, a maior área da pastagem retangular que você pode cercar com 600 metros de cerca, usando 100 metros de cerca existente, é: