UNICAMP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº Ricardo Martins - Lista sobre Derivadas, Questão 7.1
Determine as dimensões do cilindro circular reto de área total (incluindo as tampas) que tem volume máximo.
Passo 1
Olá genteeee, como vocês estão?
Nessa questão temos um cilindro circular reto, que possui área total valendo .
Precisamos determinar as suas dimensões (raio e altura) para que o seu volume seja máximo.
Tranquilo?!
Para fazer isso devemos usar o procedimento de otimização usando derivadas.
A área de um cilindro circular incluindo as tampas, vale:
onde é o raio do cilindro e a altura dele.
Já o volume é dado por:
Assim, a ideia é isolarmos uma das variáveis na equação da área total e substituir no volume. Aí, teremos uma função de uma variável ( ou ), e podemos derivar para encontrar os pontos críticos.
Vamo nessa!
Passo 2
Temos:
Isolando , vem:
Substituindo no volume, vem:
Massa! Agora vamos derivar para encontrarmos os pontos críticos:
Igualando a , vem:
Logo:
Como só temos um ponto crítico, esse ponto é de máximo.
Daí, pra calcular a altura podemos substituir na expressão que havíamos encontrado anteriormente:
Substituindo , vem:
Logo:
Prontinho galera!
Obrigado pela atenção de vocês 😊