Determine as dimensões do cilindro circular reto de área total (incluindo as tampas) S que tem volume máximo.

Passo 1

Olá genteeee, como vocês estão?

Nessa questão temos um cilindro circular reto, que possui área total valendo S .

Precisamos determinar as suas dimensões (raio e altura) para que o seu volume seja máximo.

Tranquilo?!

Para fazer isso devemos usar o procedimento de otimização usando derivadas.

A área de um cilindro circular incluindo as tampas, vale:

S = 2 π r 2 + 2 π r h

onde r é o raio do cilindro e h a altura dele.

Já o volume é dado por:

V = π r 2 h

Assim, a ideia é isolarmos uma das variáveis na equação da área total e substituir no volume. Aí, teremos uma função de uma variável ( r ou h ), e podemos derivar para encontrar os pontos críticos.

Vamo nessa!

Passo 2

Temos:

S = 2 π r 2 + 2 π r h

Isolando h , vem:

h = S - 2 π r 2 2 π r

Substituindo no volume, vem:

V = π r 2 ⋅ S - 2 π r 2 2 π r

∴ V = f r = S r 2 - π r 3

Massa! Agora vamos derivar para encontrarmos os pontos críticos:

f ' r = S 2 - 3 π r 2

Igualando a 0 , vem:

S 2 - 3 π r 2 = 0

S 2 =   3 π r 2

Logo:

r = S 6 π

Como só temos um ponto crítico, esse ponto é de máximo.

Daí, pra calcular a altura podemos substituir na expressão que havíamos encontrado anteriormente:

h = S - 2 π r 2 2 π S 6 π

Substituindo r = S 6 π , vem:

h = S - 2 π ⋅ S 6 π 2 π S 6 π

= 2 S 3 2 π S 6 π

Logo:

h = S 3 π ⋅ 6 π   S

∴ h = 2 S 3 π

Prontinho galera!

Obrigado pela atenção de vocês 😊

Resposta

r = S 6 π

h = 2 S 3 π

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