UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 8.
Quais devem ser as dimensões de uma pastagem retangular dede área, feita a margem de um rio reto para que o gasto com a cerca seja o menor possível sabendo que não é necessário fazer cerca ao longo do rio?
Passo 1
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Para minimizar o gasto com a cerca, você deve criar um retângulo que tenha apenas três lados cercados, já que o rio servirá como uma barreira natural em um dos lados.
Seja "x" a largura do retângulo (lado paralelo ao rio) e "y" o comprimento do retângulo (lado perpendicular ao rio). A área do retângulo é igual a
Você quer minimizar o comprimento da cerca, que é dado por:
Agora, isole "y" na primeira equação:
Substitua esse valor na equação da cerca:
Passo 2
Para minimizar a cerca, você precisa encontrar o valor mínimo de Cerca em relação a "x". Vamos derivar Cerca em relação a "x" e igualar a derivada a zero:
Igualando a derivada a zero:
Multiplicando ambos os lados por x^2:
Dividindo ambos os lados por 2:
Passo 3
Tirando a raiz quadrada de ambos os lados:
Agora que encontramos o valor de "x", podemos encontrar o valor de "y" usando a primeira equação:
Divida ambos os lados por 50√2:
Portanto, as dimensões da pastagem retangular que minimizam o gasto com a cerca são de aproximadamente metros de largura e metros de comprimento (paralelo ao rio). O comprimento ao longo do rio não requer uma cerca
Resposta
metros de largura e metros de comprimento (paralelo ao rio).