UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Profº José de Albuquerque - Lista de Gráficos, L'hopital e problemas de otimização, Questão 10
10. Encontre as dimensões de um retângulo com área de cujo perímetro seja o menor possível
Passo 1
Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎
Nesse problema, queremos obter um retângulo que tenha de área, mas que tenha o menor perímetro possível.
Como vamos fazer isso? 🤔
Para iniciar o problema, temos que definir as equações que temos que trabalhar.
Primeiro, para um retângulo de lado e altura , a área é calculada como
Essa equação tem que ser satisfeita sempre.
E a equação do perímetro do retângulo é dada por
Essa equação temos que maximizar.
Sacou? Bora começar! 😁
Passo 2
Isolando uma das variáveis da equação da área e substituindo na equação do perimetro, temos
Substituindo em
Derivando para obter uma relação entre a taxa em variação de em função de , temos
Igualando a ...
Assim, vemos que é a medida que ser menor possível.
Substituindo em ...
Como , então
Portanto, as medidas do retângulo são e
Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁
Resposta
e