UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 18.
Encontre as dimensões do retângulo com a maior área que pode ser inscrito em um círculo de raio r.
Passo 1
Bora para mais uma galerinha?
Sendo o raio da circunferência, sejam os lados do retângulo inscrito, de modo que sua área é dada por:
ou seja, a função depende das variáveis
Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
Ou seja
Substituindo na expressão que fornece a área, temos:
e, dessa maneira, A é função de uma única variável: b, sendo
Observação: Se , temos retângulos "degenerados".
Passo 2
Vamos estudar agora a função
para encontrar seu ponto de máximo.
Temos:
ou seja,
isto é é ponto crítico para a função A.
Esse ponto é um ponto de máximo local para a função A, pois:
se então e, portanto, A é estritamente crescente;
se então e, portanto, A é estritamente decrescente.
Passo 3
Esse ponto é o ponto de máximo global para a função A no intervalo pois a função A não muda seu comportamento com relação ao crescimento/decrescimento nesse intervalo.
Substituindo em , temos:
Portanto, ou seja, o retângulo de área máxima inscrito numa circunferência é um quadrado.