UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 12.
Encontre o ponto sobre a curva mais próximo de
Passo 1
Falaa galerinha, tudo bem?
Vamos aplicar os nossos conhecimentos sobre o método dos multiplicadores de Lagrange.
A função de Lagrange e dada por:
Seja um ponto qualquer pertencente a curva . A distância entre o ponto e a curva é .
Portanto, precisamos minimizar a função sujeita a restrição .
A função de Lagrange é
Calcule as derivadas parciais de em relação a e defina-as como zero:
Passo 2
Resolva esse sistema de equações para encontrar os valores de
Da primeira equação, temos:
Substitua na terceira equação:
Agora, substitua na segunda equação:
Passo 3
Substitua os valores de de volta na equação da restrição para encontrar
Simplifique e resolva essa equação para encontrar \(\lambda\):
Multiplicando ambos os lados por
Dividindo por 2:
Agora, resolva para
Passo 4
Agora que você encontrou , você pode encontrar os valores correspondentes de
Portanto, o ponto que minimiza a função sujeita à restrição , e a distância mínima entre o ponto e a curva ocorre em .