UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 17.
Um fazendeiro quer cercar uma área de em um campo retangular e então dividi-lo ao meio com uma cerca paralela a um dos lados do retângulo. Como fazer isso de forma que minimize os custos da cerca?
Passo 1
Oieee bora resolver mais uma?
Para minimizar os custos da cerca, o fazendeiro deve encontrar as dimensões do retângulo que minimize a quantidade de cerca necessária para cercar a área de 15.000 m² e também permita a divisão ao meio com uma cerca paralela a um dos lados. Para fazer isso, podemos seguir os seguintes passos:
Seja x o comprimento do retângulo e y a largura do retângulo. Portanto, a área do retângulo é dada por:
Queremos minimizar os custos da cerca, que são diretamente proporcionais ao perímetro do retângulo. O perímetro de um retângulo é dado por:
Agora, precisamos considerar a cerca que divide o retângulo ao meio. Se o fazendeiro escolher fazer a cerca de divisão paralela ao comprimento (x), ele precisará de mais uma cerca com comprimento x. Portanto, o perímetro total com a cerca de divisão será:
Passo 2
Agora, podemos expressar y em termos de x a partir da equação da área (Passo 1):
Substitua y na equação do perímetro total (Passo 3):
Agora, precisamos encontrar o valor de x que minimiza o perímetro total.
Para fazer isso, podemos derivar a equação em relação a x e encontrar o valor de x que torna a derivada igual a zero:
Agora, igualamos a derivada a zero:
Passo 3
Agora que encontramos o valor de x, podemos calcular o valor de y usando a equação da área:
Portanto, as dimensões do retângulo que minimizam os custos da cerca são 100 metros de comprimento (x) e 150 metros de largura (y).
O perímetro total mínimo será:
Assim, o fazendeiro deve cercar um retângulo de 100 metros por 150 metros e, em seguida, dividir ao meio com uma cerca paralela ao comprimento para minimizar os custos da cerca. O comprimento total da cerca necessária será de 600 metros.