USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 1, Questão 7.41
Sejam um intervalo aberto e uma função derivável. Assuma que vale o seguinte teorema: se , com , então para todo entre e , existe tal que . (Observe que não supomos de classe . Com base nesse teorema podemos afirmar que:
Não existe função , derivável, tal que e para todo .
toda função derivável em possui sua derivada contínua em .
toda função derivável em possui descontínua em todo ponto de .
nenhuma das alternativas anteriores é correta.
Passo 1
E aí gente, tudo na paz com vocês?
Nessa questão o enunciado nos deu um teorema bem interessante e nos pediu para avaliar uma série de afirmações com base nele.
Basicamente, o teorema diz o seguinte:
Imagina que a gente tem uma função , e e são dois pontos do domínio de .
Daí, derivando , temos os pontos e .
Para qualquer número , que satisfaça:
Vai existir um tal que:
Ou seja, ele tá afirmando que a função varre todos os valores possíveis entre os pontos extremos da derivada de .
Sacaram?
Com base nisso, vamos avaliar as afirmações que foram dadas.
Vem comigo!
Passo 2
Pra começar, no item é afirmado que não existe uma função dos reais nos reais, tal que:
Pra avaliar essa afirmação vamos supor que tal função exista.
A partir daí, verificamos se ela é capaz de obedecer ao teorema dado no enunciado.
Imagina que tomamos:
Então:
Assim, se tomarmos por exemplo:
Temos que:
Ou seja:
Sendo assim, pelo nosso teorema, existe tal que:
Mas, isso é falso. Pois, a função só assume valores do tipo ou , o que contraria o teorema.
Como o teorema foi contrariado, é sinal de que chegamos em um absurdo matemático e a nossa suposição inicial de que essa função realmente existe, é falsa.
Portanto, como o item afirmou que não existia tal função, ele está verdadeiro!
Excelente!
Com isso já conseguimos marcar a resposta, mas vamos dar uma olhadinha nas outras afirmações.
Passo 3
O item afirma que como uma consequência desse teorema é contínua. Mas, isso não é verdade, nada foi afirmado sobre a continuidade de no teorema em questão.
O mesmo tipo de erro ocorre no item , que afirma o contrário. Ou seja, que toda função derivável é descontínua. Isso também é um absurdo matemático. Diversas funções deriváveis são contínuas, como as polinomiais por exemplo.
Então, realmente só tem a letra .
Espero que vocês tenham curtido a solução e até a próxima gente 😊