UFCG, Sem Campus, Cálculo Diferencial e Integral I, Listas Cálculo 1 - UAMat - Lista 4 - Aplicação de Derivadas, Questão 11
Suponha que a área total de um tambor cilíndrico sem tampa deve ser . Determine o raio da base e a altura do mesmo para que sua capacidade seja maior possível. Qual é essa capacidade?
Passo 1
Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Bom, para começar, vamos pensar aqui no nosso tambor de formato cilíndrico:
Olhando para o nosso cilindro, temos que ter em mente que a área total vai ser a área superficial + da tampa + da base:
Porém, é dito no enunciado que não temos uma tampa, então:
Além disso, ele pede a capacidade máxima, logo, ele quer o Volume do nosso cilindro:
Passo 2
Vamos lá. É dito no enunciado que:
Agora, vamos isolar :
Show, agora, vamos usar essa alteração na fórmula do nosso volume:
Agora vamos trabalhar com as derivadas.
Passo 3
Vamos derivar:
Ok, lembra que o enunciado pede para a gente achar a capacidade máxima? Temos que igualar a zero as nossas derivadas:
Como estamos trabalhando com raio, não podemos usar medidas negativas, então:
No caso, é um máximo local.
E agora para acharmos , usaremos:
Logo, o Volume: