É uma base do núcleo de:

4 4 3 3 2 2 1 1

(a) { - 1,0 , 0,4 , - 1,0 , 3,0 , - 1,2 , 0,0 }

(b) { 1,0 , 0 , - 4 , 0,1 , 0 , - 3 , 0,0 , 1 , - 2 }

(c) { 1,0 , 0 , - 4 , 1,0 , - 3,0 , 1 , - 2,0 , 0 }

(d) { 0,1 , 0 , - 4 , 1,0 , - 3,0 , - 1 , - 2,0 , 0 }

Passo 1

Pra encontrar o núcleo, temos que igualar essa matriz à matriz nula:

4 4 3 3 2 2 1 1 =   0 0

Ou seja, o núcleo dessa matriz (vamos chama-la de A) vai ser formado por elementos da forma:

N u c A = x y z w

que quando multiplicam A resultam no vetor nulo. Vamos fazer isso.

Passo 2

Montando essa equação:

4 4 3 3 2 2 1 1 x y z w =   0 0

Fazendo o produto de matrizes do lado direito, vamos ficar com:

4 x + 3 y + 2 z + w 4 x + 3 y + 2 z + w =   0 0

Igualando os elementos da direita com os da esquerda, ficamos com duas equações iguais a:

4 x + 3 y + 2 z + w = 0

Passo 3

Passo 4

Temos uma só equação e 4 variáveis. Então, temos 1 variável dependente e as outras 3 livres.

Podemos escolher qualquer uma das variáveis x, y, z ou w para isolar.

Aqui vamos isolar o w (porque eu quis hahah mas pode ser qualquer uma mesmo).

Ficamos com:

w =   - 4 x - 3 y - 2 z

Então nosso vetor do núcleo x , y , z , w pode ser escrito como:

x , y , z , w = ( x , y , z , - 4 x - 3 y - 2 z )

Passo 5

Agora a gente abre o vetor do lado direito em 3 vetores.

No primeiro colocamos os termos com x, somamos com um segundo que só tem termos em y e somamos de novo com um terceiro que só tem termos em z. Assim:

x , y , z , w = x , 0,0 , - 4 x + 0 , y , 0 , - 3 y + ( 0,0 , z , - 2 z )

Colocando as variáveis pra fora dos vetores:

x , y , z , w = x 1,0 , 0 , - 4 + y 0,1 , 0 , - 3 + z ( 0,0 , 1 , - 2 )

Passo 6

Lembra que eu falei que x,y e z eram variáveis livres? Isso é porque elas podem assumir qualquer valor.

Então do lado direito temos um conjunto de vários possíveis que geram o núcleo da matriz.

Uma base para essa matriz pode ser esses três vetores.

{ 1,0 , 0 , - 4 , 0,1 , 0 , - 3 , 0,0 , 1 , - 2 }

e esse conjunto está na letra (b)!

Resposta

(b) { 1,0 , 0 , - 4 , 0,1 , 0 , - 3 , 0,0 , 1 , - 2 }

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .