É uma base do núcleo de:
(a)
(b)
(c)
(d)
Passo 1
Pra encontrar o núcleo, temos que igualar essa matriz à matriz nula:
Ou seja, o núcleo dessa matriz (vamos chama-la de A) vai ser formado por elementos da forma:
que quando multiplicam A resultam no vetor nulo. Vamos fazer isso.
Passo 2
Montando essa equação:
Fazendo o produto de matrizes do lado direito, vamos ficar com:
Igualando os elementos da direita com os da esquerda, ficamos com duas equações iguais a:
Passo 3
Passo 4
Temos uma só equação e 4 variáveis. Então, temos 1 variável dependente e as outras 3 livres.
Podemos escolher qualquer uma das variáveis x, y, z ou w para isolar.
Aqui vamos isolar o w (porque eu quis hahah mas pode ser qualquer uma mesmo).
Ficamos com:
Então nosso vetor do núcleo pode ser escrito como:
Passo 5
Agora a gente abre o vetor do lado direito em 3 vetores.
No primeiro colocamos os termos com x, somamos com um segundo que só tem termos em y e somamos de novo com um terceiro que só tem termos em z. Assim:
Colocando as variáveis pra fora dos vetores:
Passo 6
Lembra que eu falei que x,y e z eram variáveis livres? Isso é porque elas podem assumir qualquer valor.
Então do lado direito temos um conjunto de vários possíveis que geram o núcleo da matriz.
Uma base para essa matriz pode ser esses três vetores.
e esse conjunto está na letra (b)!
Resposta
(b)