A2 T5 T6
Considere o espaço vetorial , e os subconjuntos
Verifique se é subespaço de .
Verifique se é subespaço de , determine uma base para .
Passo 1
Vamos lá, pra ser subespaço de , precisamos que ele seja fechado para soma, para o produto por escalar e contenha o elemento nulo.
Bom, a matriz respeita todas as regras, então contém o elemento nulo.
Mas repara que ele não é fechado para a soma! Se liga nessas duas matrizes por exemplo:
Concorda que ambas fazem parte de ? Elas têm e o produto . Mas se somarmos elas temos:
Opa, o produto agora deixou de ser zero e passo a ser ! Então não é fechado para soma e portanto não é um subespaço de .
Passo 2
Vamos fazer os mesmos testes para . Ele contém o elemento nulo pois a matriz satisfaz todas as exigências de . Vamos desenvolver um pouco agora as equações de :
De temos:
Substituindo em :
Jogando esses valores na matriz geral , temos:
Passo 3
Beleza, vamos verificar usando essa matriz geral de se ele é fechado para a soma e produto por escalar. Primeiro para a soma:
Precisamos que:
Certinho, agora vamos ver se é fechado para o produto por escalar:
Precisamos que:
Fechou então, cumpre todos os requisitos, então ele é um subespaço! Agora precisamos de uma base pra ele.
Passo 4
Vamos pegar aquela matriz geral de e “quebrar” ela:
Os dois vetores são pois não são múltiplos, logo uma base para é:
Fim de papo.
Resposta
Não.
Sim.