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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2019.1, P1, Q5

Seja B   uma base de V 3 e seja a   ∈ R . Considere as seguintes afirmações sobre os vetores u → = a , 1,1 B , v → = 1 , a , - a B ,   w → = 1 , a , - 1 B .

I .   S e   a ≠ 1 ,   e n t ã o   u → , v → , w →   é   u m a   b a s e   d e   V 3 .

I I .   O   c o n j u n t o   u → , v →   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e   p a r a   t o d o   a ∈ R  

I I I .   S e   a ≠ 1 ,   e n t ã o   u → , w →   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e .    

Passo 1

Faaalaa, blz??? Vamos começar essa questão lembrando um conceito sobre bases.

Para u → , v → , w → ser base, temos que u → , v → , w → deve ser L.I. Além disso, para u → , v → , w →   s e r   L . I , temos que:

α u → + β v → + γ w → = 0   ∴   α = β = γ = 0

Vamos analisar se isso ocorre, ou seja, se u → , v → , w → é base.

α u → + β v → + γ w → = 0

α a , 1,1 B + β 1 , a , - a B + γ 1 , a , - 1 B = 0

α a + β + γ = 0 α + β a + γ a = 0 α - β a - γ = 0  

Vamos analisar agora a alternativa (I), substituindo a por -1:

- α + β + γ = 0 α - β - γ = 0 α + β - γ = 0  

Como solução temos:

β = 0   e   α = γ , ou seja, não é L.I, pois há solução diferente de α = β = γ = 0

Passo 2

Vamos analisar a segunda afirmação:

I I .   O   c o n j u n t o   u → , v →   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e   p a r a   t o d o   a ∈ R  

α u → + β v → = 0

α a , 1,1 B + β 1 , a , - a B = 0

α a + β = 0 α + β a = 0 α - β a = 0

Das duas últimas temos que α = 0 ,     s u b s t i t u i n d o   n a   p r i m e i r a   t e m o s   β = 0

Logo, u → , v →   é   L . I ,   p o i s   α = β = 0

Passo 3

Bora para a última afirmação para fechar a questão:

I I I .   S e   a ≠ 1 ,   e n t ã o   u → , w →   é   l i n e a r m e n t e   i n d e p e n d e n t e .    

α a , 1,1 B + γ 1 , a , - 1 B = 0

α a + γ = 0 α + γ a = 0 α - γ = 0  

Somando a primeira e última:

α a + 1 = 0

Veja que para a = - 1   temos solução diferente de α = γ = 0 , ou seja, não é L.I para a ≠ 1

Resposta

Letra D

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .