Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.2, Questão 06

Os vetores e geram o vetor através de uma combinação linear:

I - Existe outra combinação linear de e que gera

II - Qualquer vetor pode ser gerado por e

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) Ambas são verdadeiras

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) Ambas são falsas

Passo 1

I - Existe outra combinação linear de e que gera

Para que exista mais de uma combinação linear desses vetores que gere o é preciso que eles formem um conjunto

Vamos verificar a dependência linear desses vetores os botando nas linhas de uma matriz e a escalonando:

Não zerou nenhuma linha logo esse conjunto é e só há uma forma de representar o vetor como dele.

Assim, a primeira afirmativa é falsa!

Passo 2

II - Qualquer vetor pode ser gerado por e

Bom, eu vou conseguir escrever qualquer vetor de 3 coordenadas (do ) como combinação desses vetores se eles forem uma base do

Beleza, e como eu sei se esses vetores formam uma base para o ??

Para ser base do preciso que o conjunto seja e tenha 3 vetores, exatamente o que eu tenho!!

Logo, é base do e consigo escrever qualquer vetor como deles.

Resposta

c

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2

Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x

Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }

Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .