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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

Quais dos seguintes conjuntos de polinômios formam base de P 2 ?

  1. 2 t 2 + t - 4 ,   t 2 - 3 t + 1
  2. 1 ,   t ,   t 2
  3. 2 ,   1 - x ,   1 + x 2
  4. 1 + x + x 2 ,   x + x 2 ,   x 2
  5. { 1 + x ,   x - x 2 ,   1 + 2 x - x 2 }  

Passo 1

De cara, podemos ver que a letra a) não pode ser uma base pois só possui dois polinômios. Sendo assim a dimensão máxima do conjunto é 2 e como a dimensão de P 2 é 3 , não pode ser uma base.

Por sua vez a letra b) é a base canônica de P 2 e, portanto, é uma base de P 2 .

Passo 2

Agora, para o resto das letras só nos resta verificar se os polinômios são L I ...

Letra c)

a 2 + b 1 - x + c 1 + x 2 = 0 ⇒

2 a + b - b x + c + c x 2 = 0 ⇒

2 a + b + c - b x + c x 2 = 0 ⇒

2 a + b + c = 0 ⇒ 2 a = 0 ⇒ a = 0 - b = 0 ⇒ b = 0 c = 0

Como achamos que os coeficientes são a = b = c = 0 , então o conjunto é L I .

Letra d)

a 1 + x + x 2 + b x + x 2 + c x 2 = 0 ⇒

a + a x + a x 2 + b x + b x 2 + c x 2 = 0 ⇒

a + a + b x + a + b + c x 2 = 0 ⇒

a = 0 a + b = 0 ⇒ b = 0 a + b + c = 0 ⇒ c = 0

Como achamos que os coeficientes são a = b = c = 0 , então o conjunto é L I .

Passo 3

Letra e)

a 1 + x + b x - x 2 + c 1 + 2 x - x 2 = 0 ⇒

a + a x + b x - b x 2 + c + c 2 x - c x 2 = 0 ⇒

a + c + a + b + 2 c x + - b - c x 2 = 0 ⇒

a + c = 0 ⇒ a = - c a + b + 2 c = 0 ⇒ - c - c + 2 c = 0 ⇒ 0 = 0   ( O K ! ) - b - c = 0 ⇒ b = - c

Como podemos ver, temos que a = b = - c e quando tentamos descobrir o valor de c substituindo na segunda equação, chegamos em 0 = 0 e ela não nos diz nada. Sendo assim, c é uma variável livre e pode assumir qualquer valor. Logo, o conjunto é L D e, portanto, não é uma base de P 2 .

Resposta

Letra b), c), d).

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .