Seja V um espaço vetorial de dimensão 2 e S = { v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } um conjunto gerador de V , com todos os vetores distintos entre si.

Sejam A = { v 1 → ,   v 2 → } e B = { v 2 → ,   v 3 → } e C = { v 1 → ,   v 3 → } .

Assinale a alternativa FALSA:

( a ) A ,   B e C podem todos ser bases de V

( b ) A ,   B e C podem todos ser conjuntos geradores de V

( c ) A ,   B e C podem todos ser conjuntos linearmente independentes ( L I )

( d ) A ,   B e C podem todos ser conjuntos linearmente dependentes ( L D )

Passo 1

Vamos avaliar a letra ( a ) .

A ,   B e C têm todos dimensão 2 , pois possuem dois vetores cada.

Como V também tem dimensão 2 , todos podem ser bases!

É verdadeira então.

Passo 2

Na letra ( b ) , está dito que todos podem ser conjuntos geradores.

Será que podem mesmo?

Bom, sabemos que V tem dimensão 2 , então se eles forem bases de V , eles automaticamente gerarão V , e serão conjunto geradores.

Então também é verdade.

Passo 3

A letra ( c ) diz que podem ser todos L I .

Bom, já vimos que todos podem ser bases!

E toda base é um conjunto é L I , não é mesmo?

Então todos podem ser conjuntos LI!

:P

Passo 4

Já na letra ( d ) , a afirmação é que podem ser todos conjuntos L D !

Pô, tanto A quanto B quanto C tem dois vetores.

  • Se A for L D , quer dizer que os vetores v 1 → e v 2 → são múltiplos!
  • Se B for L D , quer dizer que os vetores v 2 → e v 3 → são múltiplos!
  • E se C fo L D , quer dizer que os vetores v 1 → e v 3 → são múltiplos!!!!!!

Ou seja...se todos forem L D , todos são múltiplos um do outro!

Mas e aí?

E aí que se todos forem múltiplos um do outro, todos são combinações lineares um do outro, e a base de V terá apenas um vetor.

E não pode, porque a V tem dimensão 2 , então sua base tem que ter DOIS vetores!

Então essa é que é a falsa.

Resposta

Letra ( d )

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