Considere as afirmações abaixo:

(I) 1,2 , 3 , 2,5 , 8 , 3,5 , 8 é uma base de R 3 .

(II) 1,1 , 2 , 2,3 , 2 , 3,5 , 2 é gerador de R 3 .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Pra um conjunto ser base, ele tem que ser capaz de gerar todo o espaço e ser linearmente independente.

Como temos 3 vetores do R 3 , vamos ver se esses três vetores são LI.

Pra isso, vamos coloca-los nas linhas de uma matriz e escalonar:

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 3 L 1

L 3 ← L 3 + L 2

Como nenhuma linha zerou, os três vetores são linearmente independentes, logo formam uma base para R 3 .

Passo 2

(II) Pra esse conjunto com 3 vetores ser gerador de R 3 , ele vai ter que ser capaz de gerar todo o R 3 .

Por isso, os vetores vão ter que ser LI.

Vamos ver se isso é verdade colocando-os nas linhas de uma matriz e escalonando:

L 2 ← L 2 - 2 L 1

L 3 ← L 3 - 3 L 1

L 3 ← L 3 - 2 L 2

A última linha zerou, logo ela é combinação linear das duas linhas anteriores a ela.

Então o espaço gerado por aqueles 3 vetores é s p a n 1,1 , 2 , 0,1 , - 2 .

E com dois vetores de R 3 não conseguimos gerar todo esse espaço.

Portanto a afirmação II é falsa, e o conjunto dado não é gerador de R 3 .

Resposta

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .