1. Considere o conjunto:

W = { ( a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c ) | a , b , c ∈ R }

  1. Determine uma base para W .

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Esse problema nos deu esse conjunto aqui:

W = { ( a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c ) | a , b , c ∈ R }

E está pedindo para a gente encontrar uma base para ele. Bem, uma base é um conjunto de vetores desse espaço em que eu consigo escrever qualquer vetor de W como combinação linear desses vetores... Não pegou? Relaxa!Imagina que eu estou buscando 4   vetores (o número depende do espaço vetorial que a gente tá olhando): u ,   v ,   w e x . Show? Esses caras para serem uma base eu tenho que ter duas coisas:

  1. Qualquer que seja um vetor V do espaço W eu tenho que conseguir escrever esse vetor como sendo: V = a u + b v + c w + d x
  2. E uma coisa importante é que nenhum daqueles vetores pode ser escrito como combinação dos outros, eles têm de ser linearmente independente

Então vem comigo que a gente vai entender melhor sobre essa base aí!

Passo 2

Nesses problemas em que o enunciado nos dá um espaço vetorial e nos pede uma base, um bom começo é tentar escrever o vetor que está definido no espaço:

( a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c )

Como uma combinação de outros vetores... Como que a gente faz isso?A ideia é tentar simplificar ao máximo aquele cara colocando aqueles termos a ,   b e c em evidência. Olha só! Primeiro vamos quebrar aquelas somas fazendo vetores que contenham só uma letra: a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c = a , a , 0 , - a + 0 , b , b , b + ( c ,   - c ,   - 2 c ,   - 3 c )

Se a gente somar aqueles três vetores que surgiram ali, a gente vai ter o vetor original que o enunciado nos definiu, certo?Agora o que a gente faz é colocar as letras em evidência. Só não esquece que essas letras são qualquer valor possível, como o problema nos disse: a + c ,   a + b - c ,   b - 2 c ,   - a + b - 3 c = a 1,1 , 0 , - 1 + b 0,1 , 1,1 + c 1 , - 1 , - 2 , - 3 Opaaaa! Tá vendo aqueles vetores que surgiram ali? Vou chamá-los assim: u = 1,1 , 0 , - 1 v = 0,1 , 1,1 w = ( 1 , - 1 , - 2 , - 3 )

Esses são os nossos primeiros candidatos aos vetores da base já que necessariamente os vetores de W são escritos como combinações lineares deles.E aí já encontramos a nossa base desse espaço W ! { 1,1 , 0 , - 1 ,   0,1 , 1,1 ,   ( 1 , - 1 , - 2 , - 3 ) }

Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??

Resposta

{ 1,1 , 0 , - 1 ,   0,1 , 1,1 ,   ( 1 , - 1 , - 2 , - 3 ) }

Exercícios de Livros Relacionados