UTFPR – 2018.1 – Geometria Analítica e Álgebra Linear - Recuperação
- Considere o conjunto:
- Determine uma base para .
Passo 1
Fala aí, galerinhaa!
Esse problema nos deu esse conjunto aqui:
E está pedindo para a gente encontrar uma base para ele. Bem, uma base é um conjunto de vetores desse espaço em que eu consigo escrever qualquer vetor de como combinação linear desses vetores... Não pegou? Relaxa!Imagina que eu estou buscando vetores (o número depende do espaço vetorial que a gente tá olhando): e . Show? Esses caras para serem uma base eu tenho que ter duas coisas:
- Qualquer que seja um vetor do espaço eu tenho que conseguir escrever esse vetor como sendo:
- E uma coisa importante é que nenhum daqueles vetores pode ser escrito como combinação dos outros, eles têm de ser linearmente independente
Então vem comigo que a gente vai entender melhor sobre essa base aí!
Passo 2
Nesses problemas em que o enunciado nos dá um espaço vetorial e nos pede uma base, um bom começo é tentar escrever o vetor que está definido no espaço:
Como uma combinação de outros vetores... Como que a gente faz isso?A ideia é tentar simplificar ao máximo aquele cara colocando aqueles termos e em evidência. Olha só! Primeiro vamos quebrar aquelas somas fazendo vetores que contenham só uma letra:
Se a gente somar aqueles três vetores que surgiram ali, a gente vai ter o vetor original que o enunciado nos definiu, certo?Agora o que a gente faz é colocar as letras em evidência. Só não esquece que essas letras são qualquer valor possível, como o problema nos disse:Opaaaa! Tá vendo aqueles vetores que surgiram ali? Vou chamá-los assim:
Esses são os nossos primeiros candidatos aos vetores da base já que necessariamente os vetores de são escritos como combinações lineares deles.E aí já encontramos a nossa base desse espaço !
Resolvemos essa 😊 Vamos para a próxima??