Considere no espaço E 3 um cubo de arestas unitárias cujos vértices são A , B , C , D , E , F , G , H em que H G F E ,   H E A D ,   H G C D   são faces desse cubo, como ilustrado na figura abaixo:

Assinale a alternativa contendo uma afirmação F A L S A :

a ) o conjunto A D → , A B → , A E → é uma base ortonormal de V 3 ;

b )   o produto escalar de A G → com A F → é igual a - 1 ;

c ) o conjunto A F → , A G → , A H → é linearmente independente;

d ) A G → + H E → + F D → = B C → ;

e ) o conjunto A D → , G C → , H G → é uma base de V 3 e as coordenadas do vetor A G → nessa base são 1 , - 1,1 .

Passo 1

Falaaa, blzz?? Bora lá para mais um probleminha dessa prova, para fazermos essa questão vamos analisar as alternativas até chegar numa conclusão.

a ) o conjunto A D → , A B → , A E → é uma base ortonormal de V 3 ;

Bom, essa alternativa é verdadeira, uma vez que todos vetores desse conjunto são linearmente independentes e de norma 1. Como estamos em V 3 , ou seja, dim ⁡ V 3 = 3 e temos 3 vetores linearmente independentes, eles formam uma base, com são unitários é uma base ortonormal.

Passo 2

O l h a n d o   p a r a   ( b )   o produto escalar de A G → com A F → é igual a - 1 ;

Essa afirmação nos diz que:

A G → , A F → = - 1

Porém, veja que A G → =   A F → + F G → , ou seja, queremos calcular:

A G → , A F → = A F → + F G → , A F →

Usando propriedade de produto escalar, temos que:

A F → + F G → , A F → = A F → , A F → + F G → , A F →

Temos que A F → , A F → =   A F → 2

Porém, temos que o segmento A F é diagonal de um quadrado de lados 1 , ou seja, temos que A F = 2

Ou seja:

A G → , A F → = 2 + F G → , A F →

Passo 3

Porém, pelo enunciado, temos que:

2 + F G → , A F → =   - 1

Ou ainda

F G → , A F → = - 3

Vamos supor que isso ocorra, veremos se de fato é possível, caso não seja possível a afirmação é falsa, usaremos que:

F G → , A F → = F G →   A F → cos ⁡ α  

Ou seja:

F G → , A F → = 2   c o s α

Pela afirmação:

2   c o s α = - 3

E por isso:

c o s α =   - 3 2

Porém, note que - 3 2 < - 1 ,   ou seja, é impossível um cosseno ser fora do intervalo [ - 1,1 ] .

Recapitulando... A gente supôs que o produto seria -1 e chegou num absurdo, ou seja, o produto não pode ser - 1 . Por isso a alternativa tá errada e como a questão nos pede a errada chegamos ao gabarito.

Resposta

Letra B

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