USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 11
Considere fixada uma orientação em , e seja uma base ortonormal positiva de . Considere os vetores
Sabendo que
- é ortogonal a e a
-
- é uma base positiva de
Se então é igual a
Passo 1
E aí gente, belezura?
Vamos lá entender esse exercício. Ele nos deu 3 vetores:
E quem queremos descobrir? Justamente essas coordenadas do vetor
Para isso, ele nos deu algumas pistas. Vamos interpretar cada uma delas:
- é ortogonal a e os produtos escalares e valem
- , esse é o módulo do vetor , então:
- é uma base positiva. Então além de serem vetores LI, se colocarmos esses vetores nas linhas de uma matriz, o determinante vai ser positivo
Então boraaa lá usar essas informações ao nosso favor
Passo 2
Vamos começar pela primeira pista: é ortogonal a e a
Então, temos
E também sabemos que:
Igualando e , temos
Passo 3
Agora vamos para a segunda pista: o módulo do vetor vale
O módulo de um vetor é dado por
Portanto:
Do passo 2, sabemos que e . Então, substituindo:
Opa, mas e aí como a gente sabe se o vai valer ou ?
Vamos partir para a terceira e última pista!
Passo 4
Se é uma base positiva, o determinante dessa matriz tem que ser maior do que :
Calculando o determinante:
Substituindo e (lá do passo 2), temos que
Multiplicando os dois lados por , lembrando que isso troca o sinal:
Então:
Passo 5
Do passo 3, temos que
E do passo 4, temos que
Portanto, o tem que ser negativo:
E substituindo para e :
Logo, as coordenadas do vetor são:
E a soma delas vai ser
E é issoooo