Espaços Vetoriais
Seja um espaço vetorial e um conjunto de vetores de , todos distintos entre si.
Sejam e .
Assinale a alternativa VERDADEIRA:
Se é um conjunto linearmente independente (), então é um conjunto linearmente independente () e é um conjunto linearmente independente ()
Se é um conjunto gerador de , então é um conjunto gerador de e é um conjunto gerador de
Se é um conjunto linearmente independente (), ou é um conjunto linearmente independente (), ou é um conjunto linearmente independente (), mas não ambos.
Se é um conjunto gerador de , então: ou é um conjunto gerador de , ou é um conjunto gerador de , mas não ambos.
Passo 1
É, parece que teremos que olhar uma a uma! : (
Vamos lá.
Na letra , o conjunto é .
Isso significa que nenhum vetor é combinação linear do outro.
Portanto:
- não é combinação linear de , nem vice-versa. Então o conjuto tem que ser , pois só tem esses dois vetores!
- não é combinação linear de nem vice-versa. Então o conjunto tem que ser , pois só tem esses dois vetores!
Então a letra é verdadeira!
(Mas vamos ainda descobrir se realmente as outras são falsas...)
Passo 2
Na letra , o conjunto é conjunto gerador de .
Isso não diz se é ou , apenas que ele gera .
Se for , por exemplo, é uma base de . Isso significa que, qualquer vetor que eu tire da base, aquele conjunto lá não vai mais gerar .
Então, se tirarmos os vetores e , teremos o conjunto , e ele não vai mais gerar , e sim um outro espaço menor.
Então essa não pode ser verdadeira, pois nem sempre o vai ser gerador de (nem o , analogamente).
Passo 3
Na letra , o conjunto é .
Como já vimos lá no passo , tanto como tem que ser , obrigatoriamente.
Então o “mas não ambos” no final da afirmação diz que os dois não podem ser .
Esse aí tem que ser falsa, então.
Passo 4
Na letra , o conjunto é gerador de .
No passo já vimos que pode acontecer de nem o nem o serem conjuntos geradores de (que é o caso em que é ).
Falsa.
Resposta
Letra