Indique se cada afirmação abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique.

(c) O conjunto { 1 + x , - x + x 2 , 2 + x 2 } não é base para o P 2 R .

Passo 1

A base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores linearmente independentes (LI) que geram o espaço.

A base canônica de P 2 R é { 1 , t , t 2 } . Logo, esse espaço tem dimensão 3.

Como o conjunto dado no enunciado também tem 3 vetores, precisamos que os 3 sejam LI.

Passo 2

Para ver se o conjunto de vetores dados é LI, vamos ver a combinação linear dos vetores dele que resulta em 0.

a 1 + x + b - x + x 2 + c 2 + x 2 = 0

a + a x - b x + b x 2 + 2 c + c x 2 = 0

a + 2 c + a - b x + b + c x 2 = 0

Então:

a + 2 c = 0

a - b = 0

b + c = 0

Da segunda equação, tiramos que:

a = b

Da terceira:

c = - b

Substituindo esses valores de a e c na primeira equação:

b + 2 - b = 0

- b = 0

b = 0

Portanto:

a = 0

c = 0

Como a única forma de gerar o 0 é fazendo os coeficientes da combinação linear iguais a 0, então o conjunto é LI.

Logo, ele é base de P 2 R e a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa.

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .