Considere as afirmações abaixo:

(I) 1,2 , 3 , 0,4 , 5 , 0,0 , 6 é gerador de R 3 .

(II) { 1,1 , 1 , 1,2 , 3 , 1,1 , 4 } é uma base de R 3 .

(a) (I) é falsa e (II) é falsa.

(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.

(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

Passo 1

(I) Como o nome diz, um conjunto gerador de um espaço é capaz de gerar todos os vetores daquele espaço.

Como foi dado um conjunto com 3 vetores do R 3 , para que os 3 consigam gerar todo esse espaço eles devem ser linearmente independentes.

Se colocarmos esses 3 vetores numa matriz e tentarmos escalonar ela:

Vemos que essa matriz já está na forma escalonada (triangular superior) e nenhuma linha fica zerada.

Então os 3 vetores dados são linearmente independentes e são geradores do R 3 .

A afirmação (I) é verdadeira.

Passo 2

(II) Agora temos ainda um conjunto de 3 vetores do R 3 , mas queremos ver se ele é base.

Pra um conjunto ser base de um espaço, ele deve:

  • Ser gerador do espaço
  • Ser linearmente independente

Vamos ver se o conjunto é LI da mesma forma que falamos antes, ou seja, colocando os vetores nas linhas de uma matriz e escalonando:

L 2 ← L 2 - L 1

L 3 ← L 3 - L 1

Como nenhuma linha zerou, os 3 são LI!

Isso significa que com os 3 vetores dados eu consigo gerar todo R 3 , então eles formam base para esse espaço.

A afirmação II também é verdadeira.

Resposta

(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.

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