Considere as afirmações abaixo:
(I) é gerador de
(II) é uma base de
(a) (I) é falsa e (II) é falsa.
(b) (I) é falsa e (II) é verdadeira.
(c) (I) é verdadeira e (II) é falsa.
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.
Passo 1
(I) Como o nome diz, um conjunto gerador de um espaço é capaz de gerar todos os vetores daquele espaço.
Como foi dado um conjunto com 3 vetores do , para que os 3 consigam gerar todo esse espaço eles devem ser linearmente independentes.
Se colocarmos esses 3 vetores numa matriz e tentarmos escalonar ela:
Vemos que essa matriz já está na forma escalonada (triangular superior) e nenhuma linha fica zerada.
Então os 3 vetores dados são linearmente independentes e são geradores do .
A afirmação (I) é verdadeira.
Passo 2
(II) Agora temos ainda um conjunto de 3 vetores do , mas queremos ver se ele é base.
Pra um conjunto ser base de um espaço, ele deve:
- Ser gerador do espaço
- Ser linearmente independente
Vamos ver se o conjunto é LI da mesma forma que falamos antes, ou seja, colocando os vetores nas linhas de uma matriz e escalonando:
Como nenhuma linha zerou, os 3 são LI!
Isso significa que com os 3 vetores dados eu consigo gerar todo , então eles formam base para esse espaço.
A afirmação II também é verdadeira.
Resposta
(d) (I) é verdadeira e (II) é verdadeira.