USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 12
Seja uma base ortonormal de e seja . Considere os vetores
Sabendo que é uma base de com orientação oposta à de e que os vetores e são ortogonais, conclui-se que é igual a
Passo 1
Oiii pessoal, tudo belezinha? Vamos lá que a gente consegue!
Mas falando sério, essa questão é mais simples do que parece
Resumindo as informações aqui, temos uma base que é ortonormal. Portanto, ela tem orientação positiva
Aí temos uma outra base:
Que tem orientação oposta à da base . Portanto, ela vai ter orientação negativa. Isso significa que o determinante dessa matriz vai ser menor do que :
E também sabemos que os vetores e são ortogonais. Isso quer dizer que o produto escalar entre eles vai valer .
Aí é só aplicarmos essas duas informações e encontrarmos o valor de , fechou?
Passo 2
Vamos começar pela informação de que os vetores e são ortogonais
Isso quer dizer que:
Opa, então caímos em uma equação do 2° grau. Vamos ver quais os possíveis valores de :
Portanto:
Show, então o pode valer ou . Mas vamos dar uma olhada na nossa outra informação para vermos de fato quem é o nosso , ok??
Passo 3
O enunciado disse que a base tem orientação negativa
Então colocando esses vetores nas linhas de uma matriz, o determinante tem que ser negativo:
Calculando o determinante:
Legal, o valor do não pode ser maior do que 20. Vamos ver os valores que encontramos no passo 2:
Opa, então apenas o cumpre com
Logo, o que estamos procurando para cumprir as duas condições é , fechou?