Sejam { v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → } uma base de G e w →   ∈ G .

(I) O vetor w →   necessariamente pertence a um dos planos < v 1 → ,   v 2 → > ,   < v 2 → ,   v 3 → > ou < v 1 → ,   v 3 → > .

(II) Se { w → ,   v 1 → ,   v 2 → } e { w → ,   v 1 → ,   v 3 → } são LI, então { w → ,   v 2 → ,   v 3 → } é LD.

(a) I é verdadeira e II é verdadeira.

(b) I é falsa e II é falsa.

(c) I é verdadeira e II é falsa.

(d) I é falsa e II é verdadeira.

Passo 1

(I) O vetor w →   necessariamente pertence a um dos planos < v 1 → ,   v 2 → > ,   < v 2 → ,   v 3 → > ou < v 1 → ,   v 3 → > .

O vetor w → pertencer a um dos planos significa que ele é uma combinação linear dos vetores desse plano.

Porém, w → pode ser uma combinação linear do espaço gerado pelos três vetores simultaneamente, ou seja, w → ∈   < v 1 → ,   v 2 → ,   v 3 → > .

Então essa afirmação é falsa, pois não necessariamente w →   está em um desses planos.

Passo 2

(II) Se { w → ,   v 1 → ,   v 2 → } e { w → ,   v 1 → ,   v 3 → } são LI, então { w → ,   v 2 → ,   v 3 → } é LD.

Aqui o raciocínio é parecido com o de antes.

No primeiro caso, w → ,   v 1 → ,   v 2 → ser LI significa que w →   não é CL de v 1 → ,   v 2 → . A mesma coisa pro segundo conjunto.

Mas reparem que podemos ter w → ,   v 1 → ,   v 2 → LI, { w → ,   v 1 → ,   v 3 → } LI e w → ,   v 2 → ,   v 3 → também LI se w →   for uma CL dos três vetores simultaneamente.

Então, o conjunto w → ,   v 2 → ,   v 3 → não é obrigatoriamente LD se os dois primeiros forem LI e essa alternativa também é falsa.

Resposta

(b) I é falsa e II é falsa.

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