Sejam a , b ∈ R e ϵ uma base de V 3 . Considere os vetores:

v 1 → = - 1,3 , a ϵ ,     v 2 → = 2 , - 1,1 ϵ ,     v 3 → = 1,2 , 1 ϵ ,     w → = b , 2 b , 1 ϵ

Temos que o vetor w → é uma combinação linear dos vetores v 1 → ,   v 2 → , e v 3 → se, e somente se:

  1. a b ≠ 1
  2. a + b = 0
  3. a = b
  4. a + 2 b = 0
  5. a ≠ 0   ou b = 1

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquilebas? Espero que sim! Bora lá, Responder Aí essa questão.

O que vamos fazer nesse problema é montar a matriz e resolvê-la, ou seja, a matriz:

(formada com os vetores v 1 → ,   v 2 → , v 3 → e w → )

E resolvê-la e ver em qual item se encaixa a solução.

O melhor método para fazermos isso é o de escalonamento, porque já nos fornece informações sobre o sistema.

Dito isto, bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

Assim, temos a matriz:

O primeiro escalonamento será para zerar a primeira coluna a partir da segunda linha, assim:

L 2 - 2 * L 1

L 3 + L 1

L 4 - L 1 * b

Assim ficando a matriz após o escalonamento:

Escalonando novamente, por:

L 3 + L 2

Temos:

Passo 3

Do ultimo escalonamento, temos que:

a = 1 - b → a + b = 1

E se a + b = 1 , w → é combinação linear de v 1 → ,   v 2 → e v 3 → .

Veja que se a ≠ 0 , as linhas L 3 e L 4 são linearmente dependentes, além se b = 1 , a quarta linha vai para zero ( 1 - 1 = 0 ), e forma novamente dois vetores linearmente dependentes.

Assim, essas condições são satisfeitas no item E. A resposta é a letra E!

Resposta

Letra E)

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