USP Ălgebra Linear 2 P3 2016, QuestĂŁo 1
Sejam n um inteiro positivo e um espaço vetorial real de dimensão munido de um produto interno. Sejam bases de a matriz tal que para todo. Pode-se afirmar que:
(a) se as bases forem ortonormais, entĂŁo a transposta da matriz serĂĄ igual a
(b) se as bases forem ortonormais, entĂŁo a transposta da matriz serĂĄ igual Ă inversa de
(c) se as bases forem ortogonais, ent Ìao a transposta da matriz serĂĄ igual a
(d) se as bases forem ortogonais, entĂŁo a transposta da matriz serĂĄ igual Ă inversa de
(e) se as bases forem ortonormais, entĂŁo a transposta da matriz serĂĄ igual a
Passo 1
Fala galera, tudo bem com vocĂȘs? Vamos para mais uma questĂŁo de Algelin. Nosso objetivo Ă© verificar qual a relação entre e sua transposta. EntĂŁo vamos lĂĄ.
Vamos, primeiro, supor que as bases sĂŁo ortogonais, essa Ă© a hipĂłtese das alternativas c) e d). Mas o que isso significa ser ortogonal mesmo? Vamos revisar!
Dizemos que uma base Ă© ortogonal se os vetores que formam essa base sĂŁo perpendiculares dois a dois, isso Ă©:
Se
Agora, vamos analisar o que a matriz estĂĄ fazendo.
Ou seja é uma matriz que leva os vetores da base para a base . Uma matriz de mudança de base.
Passo 2
Bem, agora que revisamos o significado de base ortogonal, e vimos que a matriz
é uma matriz de mudança de base, vamos utilizar o fato que esses espaços vetoriais tem produto interno para obtermos alguma relação sobre
Como estamos supondo que as bases são ortogonais (fizemos essa suposição no passo 2)
EntĂŁo para quaisquer
entĂŁo
(pela definição de M)
(passando a matriz para o outro lado)
Disso podemos observar que a matriz
pega
vetor da base e joga em um vetor que é ortogonal a , mas essa relação serå verdadeira para qualquer
, isto Ă©:
Bacana né?
Passo 3
O que conseguimos obter até o momento foi a seguinte relação
Onde supomos que as bases
sĂŁo ortogonais.
Mas o que essa relação nos diz? Serå que conseguimos extrair alguma informação dela? Vamos pensar!!
Bem essa relação diz que
pega o vetor
e retorna um vetor que Ă© ortogonal a TODOS os demais vetores da base. E isso implica que
retorna um vetor mĂșltiplo de
, jĂĄ que
Ă© um vetor da base de
.
E com um argumento similar, podemos mostrar que:
Infelizmente, só podemos chegar até aqui com a suposição de que as bases são ortogonais.
Passo 4
No passo anterior, vimos que se as bases
fossem ortogonais entĂŁo
Vamos adicionar uma hipĂłtese, vamos supor que os vetores das bases tem norma um, ou seja, as bases sĂŁo ORTONORMAIS.
Adicionando essa hipótese, ganhamos a seguinte relação:
Ou seja:
EntĂŁo usando o resultado do passo anterior
Como adicionamos a hipĂłtese dos vetores da base terem norma 1
Isso implica que
Logo
Ă© um operador ortogonal
E com isso chegamos ao fim de mais uma questĂŁo de algelin đ. Espero que os passos tenham ficado claros. AtĂ© a prĂłxima!!!
Resposta
b)