Que condições a e b devem satisfazer a fim de que v   =   ( 1 ,   2 ,   3 ,   b ) seja combinação linear de v 1 = ( 1 ,   2 ,   1 ,   0 ) , v 2 = - 1 ,   - 1 ,   0 ,   0 ,     v 3 = ( 2 ,   1 ,   - 1 ,   a ) e v 4   =   ( 0 ,   4 ,   2 ,   2 ) ?

Passo 1

Primeiro vamos verificar qual deve ser o valor de a para v 3 ser combinação linear de v 1 , v 2 e v 4 .

Se v 3 não for combinação linear desses vetores, { v 1 , v 2 , v 3 , v 4 } vai formar uma base do R 4 e independente do valor de b vamos poder escrever o vetor v como combinação deles.

Passo 2

Vamos lá então, vou botar os 4 vetores na matriz e escalonar:

1 - 1 0 2 2 - 1 4 1 1 0 2 - 1 0 0 2 a → L 2 → L 2 + L 1 L 4 → L 4 - 2 L 1 1 0 0 0 2 1 4 - 3 1 1 2 - 3 0 0 2 a → L 3 → L 3 - 4 L 2 L 4 → L 4 + 3 L 2 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 - 2 0 0 0 2 a

Beleza, então se a ≠ 0 v 3 não vai ser C L   dos outros e vamos conseguir escrever v   com esses vetores independente do valor de b .

Agora, para a = 0 , preciso testar!

Passo 3

Vou botar novamente os vetores numa matriz e escalonar, como sabemos que a linha de v 3 vai zerar, podemos omitir ele da matriz:

1 - 1 0 1 2 - 1 4 2 1 0 2 3 0 0 2 b → L 2 → L 2 + L 1 L 4 → L 4 - L 1 1 0 0 0 2 1 4 0 1 1 2 2 0 0 2 b → L 3 → L 3 - 4 L 2 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 - 2 2 0 0 2 b

1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 - 2 2 0 0 2 b → L 4 → L 4 + L 3 1 0 0 0 2 1 0 0 1 1 - 2 0 0 0 2 b + 2

Para o vetor da última linha ( v ) ser combinação dos outros, a linha dele deve ser zerada, assim:

b + 2 = 0

b = - 2

Resposta

a ≠ 0 e b   sem restrições ou a = 0   e b = - 2

Exercícios de Livros Relacionados

Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .