Considere as seguintes informações:

1. Se for espaço vetorial munido de um produto interno , for um subespaço de , for elemento de , for um elemento de e , então .
2. Se for um espaço vetorial munido de um produto interno e e forem subespaços de , então ;
3. Existem números reais distintos tais que a base do espaço vetorial é ortogonal com respeito ao produto interno definido por , para todos

Escolha uma opção:

1. Apenas a afirmação III é verdadeira;
2. Todas as afirmações são falsas;
3. Apenas a afirmação II é verdadeira;
4. Apenas as afirmações I e III são verdadeiras;
5. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras;
6. Todas as afirmações são verdadeiras;
7. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras;
8. Apenas a afirmação I é verdadeira;

Faaaala, galerinha, simbora analisar uma a uma.

1. Verdadeira

Quando se trata de complemento ortogonal de um subespaço de temos a definição:

Isto é, representa o subespaço formado por cada elemento ortogonal a todos os elementos de .

2. Verdadeira

Sejam , tais que:

Assim, todo elemento é tal que para um elemento , o produto interno resulta:

Contudo, , uma vez que , e ainda , uma vez que . Disto, resulta:

Logo, e, em consequência, .

3. Falsa

Para que a base do espaço vetorial seja ortogonal com respeito ao produto interno definido por , temos que seus elementos têm de ser ortogonais. De forma que:

Porém, a segunda equação do sistema indica que uma vez que para somam-se termos nulos ou positivos e o resultado é nulo. Assim, não há 3 inteiros reais distintos que tornem a base ortogonal.