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Exercícios Resolvidos de Base

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Enunciado

USP, 2019.1, P1, Q9

Seja { u → , v → , w → } uma base de V 3 . Considere as seguintes afirmações:

I .   { u → + x → , v → + x → , w → + x → } é linearmente independente, qualquer que seja x →   ∈ V 3

I I .   { u → , u → + v → , u → + v → + w → } é linearmente independente

I I I .   { v → + w → , u → + w → , u → + v → } é linearmente independente

Está correto apenas o que se afirma em

Passo 1

Falaaaa, tranquilo??? Vamos começar essa questão pela primeira afirmação e lembrando que um conjunto { u → , v → , w → } é dito linearmente independente quando a única solução de a u → + b v → + c w → = 0 → é a = b = c = 0

Vamos começar pela afirmação (I):

I .   { u → + x → , v → + x → , w → + x → } é linearmente independente, qualquer que seja x →   ∈ V 3

Bom, essa afirmação a priori parece falsa, então podemos testar algum vetor e ver no que dá.

A motivação para escolher um vetor x → será fazer aparecer um conjunto L.D. Quando pensamos em um conjunto de vetores L.D podemos pensar no vetor nulo, pois quando temos um conjunto com o vetor nulo ele será L.D, basta ver que:

a u → + b v → + c 0 → = 0 → , temos, por exemplo, a = b = 0   e   c = 2 solução.

Logo, basta tomar x → =   - v → ,   d a i :

u → + x → , v → + x → , w → + x → = { u → - v → , 0 → , w → - v → } é L.D

Passo 2

Agora vamos para segunda afirmação.

I I .   { u → , u → + v → , u → + v → + w → } é linearmente independente

Vamos tomar a , b , c   ∈ R   t a i s   q u e :

a u → + b u → + v → + c u → + v → + w → = 0 →

Caso a solução seja a = b = c = 0 ,     s e r á   L . I

Ajustando a equação:

u → a + b + c + v → b + c + w → c = 0 →

Mas como u → , v → , w → é uma base, eles são L.I, logo, a única solução é:

a + b + c = 0 b + c = 0               c = 0                              

Tiramos daqui que a = b = c = 0 , logo é L.I

Passo 3

Agora basta olhar a última afirmação:

I I I .   { v → + w → , u → + w → , u → + v → } é linearmente independente

Fazendo o mesmo processo acima:

a v → + w → + b u → + w → + c u → + v → = 0 →

u → b + c + v → a + c + w → a + b = 0 →

Como eles são L.I, temos que:

b + c = 0 a + c = 0 a + b = 0

Subtraindo a primeira da segunda, temos b - a = 0   ∴ b = a

Colocando na última temos que a = b = 0   e   d e p o i s   c = 0 , logo o conjunto é L.I

Resposta

Letra D

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Demonstrar que é L.I o conjunto { 1 ,x - a ,x - a 2 ,… ,x - a n - 1 } De vetores de P n - 1 ( R ) , onde a é um número arbitrário.
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?c) 1 +x +x 2 ,x +x 2 ,x 2
Quais dos conjuntos de vetores dados são bases de P 2 ?a) 1 -3 x +2 x 2 ,1 +x +4 x 2 ,1 -7 x
Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do R 2 . { 1 ,2 ,- 1 ,3 } { 3 ,- 6 ,- 4 ,8 } { 0 ,0 ,2 ,3 } { 3 ,- 1 ,2 ,3 }
Prove que vec u = 0 = vec u = (0 , 0 , 0)_E .