USP; Sem campus; Álgebra Linear 2; P1; 2022; Questão 2
Considere a base
E seja
Se são tais que , então é igual a:
Passo 1
Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é boa, vamos trabalhar com o conceito de elemento gerado por uma base.
Queremos saber
Onde essas constantes são tais que
Ou seja, é a matriz representada na base
Vamos fazer uma revisão, quando temos uma base de um espaço qualquer, qualquer elemento do espaço vetorial pode ser representado como uma combinação ÚNICA dos elementos da base, e a representação desse vetor nessa base é justamente as constantes usadas na combinação. Por exemplo, o vetor de
É a seguinte combinação linear dos vetores da base
E suas coordenadas são as constantes multiplicando os vetores da base.
Passo 2
Agora que temos a nossa revisão, vamos escrever a matriz como uma combinação dos elementos da base de , isso é queremos resolver
Temos quatro entradas em cada matriz, então teremos quatro equações, elas são:
Vamos resolver esse sistema.
Multiplicando a segunda equação por e subtraindo a primeira equação temos:
Agora, substituímos esse resultado na terceira equação. E temos que
Agora que temos podemos calcular as outras variáveis. Substituindo nas demais equações, temos que
Logo,
Valor presente na alternativa
Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊