Considere a base

E seja R

Se   α ,   β ,   γ ,   δ   ∈   R são tais que   R   =   ( α ,   β ,   γ ,   δ ) B , então   α   +   β   +   γ   +   δ é igual a:

  1. 7
  2. 0
  3. - 11
  4. 4
  5. 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo beleza? Vamos para mais uma questão de Algelin. Essa é boa, vamos trabalhar com o conceito de elemento gerado por uma base.

Queremos saber

  α   +   β   +   γ   +   δ

Onde essas constantes são tais que

  R   =   ( α ,   β ,   γ ,   δ ) B

Ou seja, é a matriz R representada na base B

Vamos fazer uma revisão, quando temos uma base de um espaço qualquer, qualquer elemento do espaço vetorial pode ser representado como uma combinação ÚNICA dos elementos da base, e a representação desse vetor nessa base é justamente as constantes usadas na combinação. Por exemplo, o vetor de R 2

( 1,2 )

É a seguinte combinação linear dos vetores da base

1 * ( 1,0 ) + 2 * ( 0,1 )

E suas coordenadas são as constantes multiplicando os vetores da base.

Passo 2

Agora que temos a nossa revisão, vamos escrever a matriz R como uma combinação dos elementos da base de B , isso é queremos resolver

Temos quatro entradas em cada matriz, então teremos quatro equações, elas são:

2 α - β = 3

α + γ = 1

3 α + β + 2 γ = 5

- β + 4 γ + δ = 0

Vamos resolver esse sistema.

Multiplicando a segunda equação por 2 e subtraindo a primeira equação temos:

2 γ + β = - 1

Agora, substituímos esse resultado na terceira equação. E temos que

3 α - 1 = 5

⇒ α = 2

Agora que temos α , podemos calcular as outras variáveis. Substituindo nas demais equações, temos que

β = 1

γ = - 1

δ = 5

Logo,   α   +   β   +   γ   +   δ = 7

Valor presente na alternativa a )

Prontinho pessoal!! Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão e bons estudos!!!! 😊

Resposta

a )

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