Seja B = { u → , v → , w → } uma base ortonormal positiva de V 3 . x → = a , b , c B   é a solução da equação x → ∧   u → ∧ x → ∧ v → = 36 w → , então a soma a + b + | c | é igual a:

Passo 1

Falaaaa, blz??? Vamos começar essa nova questão envolvendo base ortonormal.

Primeiro vamos lembrar que uma base ortonormal é um conjunto de vetores ortogonais entre si e unitários (módulo 1).

Além disso, vamos lembrar que um vetor qualquer t → = ( y , z , k ) na base B = { u → , v → , w → } ortonormal é do tipo:

t → = y u → + z v → + k w → = ( y , z , k )

Passo 2

Vamos começar a resolver os produtos vetoriais da equação (usaremos LaPlace para resolver o determinante).

Primeiro vamos lembrar que:

u → = 1 u → + 0 v → + 0 w → = 1,0 , 0

x → = a u → + b v → + c w → = ( a , b , c )

x → ∧   u → =   u → v → w → a b c 1 0 0 =   u → b c 0 0 - v → a c 1 0 + w → a b 1 0 =   0 u → + c v → - b w → = ( 0 , c , - b )

Além disso:

v → = 0 u → + 1 v → + 0 w → = 0 , 1 , 0

x → ∧   v → = u → v → w → a b c 0 1 0 =     u → b c 1 0 -   v → a c 0 0 +   w → a b 0 1 =   - c   u → - 0   v → + a   w → = ( - c , 0 , a )

Passo 3

Agora faremos o produto vetorial entre esses 2 vetores achados:

x → ∧   u → ∧ x → ∧ v → =   = 0 , c , - b ∧ - c , 0 , a =

= u → v → w → 0 c - b - c 0 a =     u → c - b 0 a - v → 0 - b - c a + w → 0 c - c 0 = c a u → + b c v → + c 2 w → =  

= c a , b c , c 2

Agora vamos igualar esse valor achado ao dado pelo enunciado:

36 w → = 0 u → + 0 v → + 36 w → = ( 0,0 , 36 )

c a , b c , c 2 = 0,0 , 36

c a =   0 b c = 0 c 2 = 36

Da última equação sabemos que c =   ± 6 , dai tiramos que a = b = 0

Logo a + b + c = 6

Resposta

a + b + c = 6

Exercícios de Livros Relacionados