Seja v 1 → , v 2 → , v 3 →   uma base de G e w →   um vetor não-nulo de G . Verifique as afirmativas abaixo:

I - w → necessariamente pertence a um dos planos v 1 → , v 2 → , v 1 → , v 3 → ou v 2 → , v 3 →

II - Se w → , v 1 → , v 2 → e w → , v 1 → , v 3 → são L D , então w → , v 2 → , v 3 →   é L I

(a) I é verdadeira e II é falsa

(b) I é verdadeira e II é verdadeira

(c) I é falsa e II é verdadeira

(d) I é falsa e II é falsa

Passo 1

Vamos lá, primeira afirmativa:

I - w → necessariamente pertence a um dos planos v 1 → , v 2 → , v 1 → , v 3 → ou v 2 → , v 3 →

Sendo v 1 → , v 2 → , v 3 →   uma base de G e w →   um vetor não-nulo de G .

Na maioria das vezes consigo achar um contra exemplo para essas afirmativas que tem um “necessariamente” ou um “sempre”.

Vou tentar achar um w → pertencente a G   mas que não pertence a nenhum dos planos v 1 → , v 2 → , v 1 → , v 3 → ou v 2 → , v 3 → .

w → = a v 1 → + b v 2 → + c v 3 → ,     a ≠ 0 , b ≠ 0 , c ≠ 0

Então, basta que esse vetor seja combinação linear dos três vetores e nenhum desses coeficientes seja 0. Mas por que essa condição do zero?

Se, por exemplo, o a fosse 0, w →   seria:

w → = b v 2 → + c v 3 →

Seria combinação dos outros dois vetores, e portanto, pertencente ao espaço formado por eles, o plano   v 2 → , v 3 → .

O mesmo aconteceria se eu zerasse os outros coeficientes!!

Enfim, achei um contra exemplo e assim consigo afirmar que isso aí ta errado!! É falsa!

Passo 2

Agora a segunda:

II - Se w → , v 1 → , v 2 → e w → , v 1 → , v 3 → são L D , então w → , v 2 → , v 3 →   é L I

Vamos lá, o que significa w → , v 1 → , v 2 → e w → , v 1 → , v 3 → serem L D ?

Significa que existe um ou mais vetores C L uns dos outros nesses conjuntos. Mas, fica ligado, sabemos que v 1 → , v 2 →   e v 3 → pertencem a base então não são C L uns dos outros.

Assim, esses conjuntos serao L D   se w → for combinação dos outros vetores.

Para w → , v 1 → , v 2 →   ser L D :

w → = a v 1 → + b v 2 →

Para w → , v 1 → , v 3 →   ser L D :

w → = a v 1 → + b v 3 →

Ou seja, preciso que essas duas equações sejam verdade, como v 2 → não pode ser igual a v 3 → (por não serem C L   um do outro, hahaha), b   teria que ser igual a 0.

Assim,

w → = a v 1 →

Agora vamos pra outra parte da afirmativa: w → , v 2 → , v 3 →   é L I .

Opa, se eu tenho w → = a v 1 → , então isso aí é verdade!

Logo, a afirmativa é verdadeira!!

Resposta

c

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