UFRJ, Álgebra Linear, P1 – 2017.2, Questão 03
Seja uma base de e um vetor não-nulo de . Verifique as afirmativas abaixo:
I - necessariamente pertence a um dos planos ou
II - Se e são , então é
(a) I é verdadeira e II é falsa
(b) I é verdadeira e II é verdadeira
(c) I é falsa e II é verdadeira
(d) I é falsa e II é falsa
Passo 1
Vamos lá, primeira afirmativa:
I - necessariamente pertence a um dos planos ou
Sendo uma base de e um vetor não-nulo de .
Na maioria das vezes consigo achar um contra exemplo para essas afirmativas que tem um “necessariamente” ou um “sempre”.
Vou tentar achar um pertencente a mas que não pertence a nenhum dos planos ou
Então, basta que esse vetor seja combinação linear dos três vetores e nenhum desses coeficientes seja 0. Mas por que essa condição do zero?
Se, por exemplo, o fosse 0, seria:
Seria combinação dos outros dois vetores, e portanto, pertencente ao espaço formado por eles, o plano.
O mesmo aconteceria se eu zerasse os outros coeficientes!!
Enfim, achei um contra exemplo e assim consigo afirmar que isso aí ta errado!! É falsa!
Passo 2
Agora a segunda:
II - Se e são , então é
Vamos lá, o que significa e serem ?
Significa que existe um ou mais vetores uns dos outros nesses conjuntos. Mas, fica ligado, sabemos que e pertencem a base então não são uns dos outros.
Assim, esses conjuntos serao se for combinação dos outros vetores.
Para ser
Para ser :
Ou seja, preciso que essas duas equações sejam verdade, como não pode ser igual a (por não serem um do outro, hahaha), teria que ser igual a 0.
Assim,
Agora vamos pra outra parte da afirmativa: é .
Opa, se eu tenho , então isso aí é verdade!
Logo, a afirmativa é verdadeira!!
Resposta
c