USP – Álgebra Linear – P1 2020 – Questão 1
Seja uma base ortonormal de . Considere os vetores
Sejam tais que
-
- é linearmente dependente, e
- é ortogonal a e a
Se , então é igual a
Passo 1
Oiii gente, vamos lá que vai dar tudo certo 😊
Nós temos uma base no espaço , e conhecemos 3 vetores desse espaço:
Mas agora queremos encontrar e , que são as coordenadas do vetor:
Caaalma que o exercício também não é doido de deixar a gente sem informação nenhuma hahahaha vamos usar os dados que ele deu para encontrarmos o e
-
- é linearmente dependente
- é ortogonal a e a
Então vamos lá usar isso a nosso favor :P
Passo 2
Vamos começar pela primeira informação:
Chamando e , temos:
Igualando as coordenadas, temos
Beleza, vamos guardar isso em um potinho e daqui a pouco a gente usa hahahaha
Passo 3
Usando a terceira informação, temos que o é ortogonal tanto a quanto a
Então o produto escalar deles tem que ser , certo??
Show, então vamos começar com :
E agora para o :
Opa, já sabemos que
Então
Isso já foi mega valioso hahahahhaa sabemos que as coordenadas têm o mesmo valor em módulo, mas o que muda é o sinal
Agora vamos pra informação que falta pra aí descobrirmos quem são esses valores
Passo 4
Usando a segunda informação agora, temos que o conjunto . Bem, se eles são LI, o determinante da matriz formada por esses 3 vetores (nas linhas) tem que ser :
Showww! Então calculando esse determinante:
Legal, então já temos mais uma relação olha:
Passo 5
Agora vamos buscar aquela informação que a gente guardou no potinho lááá no passo 2:
Agora já temos muita informação pra substituir nesse sistema hahahaha
Já sabemos que e :
E também sabemos que :
Isolando na terceira equação, temos que
Substituindo na primeira equação, conseguimos ficar só com 2 equações e 2 incógnitas no sistema:
Opaaaa! Então subtraindo essas duas equações, ficamos com
Portanto:
Passo 6
Ai socorro ta acabando
Se , já sabemos que
Porque lá do passo 3, temos que
Então, o vetor pode ser escrito assim:
E como o enunciado pediu a soma das 3 coordenadas, temos:
E acabamoooos hahahaaha