USP, Álgebra Linear 2, P2-2017, Questão 01
01) Considere o espaço vetorial munido de um produto interno com respeito ao qual a base:
seja ortonormal. Temos que é igual a:
a) ;
b)
c)
d)
e)
Passo 1
Faaaala galerinha, tudo certo com vocês?
Nessa questão temos um certo produto vetorial, cuja definição não é informada, no . É falado apenas que a base:
é ortonormal ao produto interno. O objetivo é determinar quanto vale beleza?
O problema todo é que não temos a definição desse produto interno. Será que realmente precisamos conhecê-la pra conseguir calcular ou tem um truquezinho?
Passo 2
Bom, antes de respondermos essa pergunta, vamos pensar nas informações que temos.
Sabemos que é uma base ortonormal, isso significa que o produto entre dois vetores diferentes dessa base é nulo, mas que o produto interno de um mesmo vetor vale . Ou seja:
Massa!
Agora pensa comigo, pra usar essas informações sem precisar da definição do produto interno, podemos escrever como uma combinação linear da base . Daí:
Logo:
Ou seja:
Pegaram a ideia?
Passo 3
Pra finalizar, é só substituirmos essa expressão no cálculo do produto interno:
Ok! Mas como podemos calcular isso?
É só lembrar dos axiomas da homogeneidade, aditividade e simetria (que valem pra qualquer produto interno). Eles dizem que:
- Homogeneidade:
- Aditividade:
- Simetria:
Show! Usando essas ideias na nossa expressão, temos que
Excelente! Daí, lembrando que:
Temos:
Aeee, é isso galera!
Conseguiram entender bem essa ideia? Nem sempre precisamos conhecer a definição de um produto interno pra calcular o produto interno de um vetor 😊
Obrigado pela atenção gente, até a próxima 😉
Resposta
Letra E: